Để chứng minh các hệ thức lượng, ta sẽ sử dụng các định nghĩa và hệ thức cơ bản trong lượng giác.

### a) Chứng minh \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)

Định nghĩa về sin và cos trong hình vuông có cạnh 1:
- Gọi \(\alpha\) là góc ở một tam giác vuông, với cạnh đối diện là \( \sin \alpha \) và cạnh kề là \( \cos \alpha \).
- Theo định nghĩa phương trình Pythagore trong tam giác vuông:
\[
(\sin \alpha)^2 + (\cos \alpha)^2 = 1
\]
Vậy ta có:
\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\]

### b) Chứng minh \( 1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \) (với \(\alpha \neq 90^\circ\))

Ta biết rằng:
\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
\]
Từ đó:
\[
\tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}
\]
Thay vào hệ thức cần chứng minh:
\[
1 + \tan^2 \alpha = 1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}
\]
Sử dụng hệ thức \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \):
\[
1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}
\]
Vậy ta có:
\[
1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}
\]

### c) Chứng minh \( 1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \) (với \( 0^\circ < \alpha < 180^\circ \))

Ta biết rằng:
\[
\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
\]
Vậy:
\[
\cot^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}
\]
Thay vào hệ thức cần chứng minh:
\[
1 + \cot^2 \alpha = 1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}
\]
Sử dụng hệ thức \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \):
\[
1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha}
\]
Vậy ta có:
\[
1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}
\]

Tóm lại, các hệ thức đã được chứng minh như yêu cầu.