Để tìm giá trị \( m \) sao cho đường thẳng \( d: y = m \) cắt đường cong \( C: y = x - \frac{1}{x + 1} \) tại hai điểm phân biệt \( A \) và \( B \) sao cho \( OA \) vuông góc với \( OB \), ta làm theo các bước sau:

1. **Tìm tọa độ giao điểm của \( d \) và \( C \)**:
Để đường thẳng \( d \) cắt đường cong \( C \), ta giải phương trình sau:
\[
m = x - \frac{1}{x + 1}
\]
Chuyển mọi hạng tử về một phía:
\[
x - \frac{1}{x + 1} - m = 0
\]
Nhân cả hai vế với \( x + 1 \) (với điều kiện \( x \neq -1 \)):
\[
(x - m)(x + 1) = 1
\]
Suy ra:
\[
x^2 + (1 - m)x + (-1 - m) = 0
\]
Để phương trình này có hai nghiệm phân biệt, điều kiện là:
\[
(1 - m)^2 - 4(-1 - m) > 0
\]

Tính vào:
\[
(1 - m)^2 + 4 + 4m > 0
\]
\[
1 - 2m + m^2 + 4 + 4m > 0
\]
\[
m^2 + 2m + 5 > 0
\]
Phương trình bậc hai này luôn dương vì discriminant âm \( D = 2^2 - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = -16 \).

2. **Tọa độ giao điểm**:
Gọi \( A(x_1, m) \) và \( B(x_2, m) \) là hai điểm giao nhau. Tọa độ \( x_1 \) và \( x_2 \) là nghiệm của phương trình bậc hai phía trên.

3. **Điều kiện vuông góc**:
\( OA \) vuông góc với \( OB \) có nghĩa là:
\[
OA \cdot OB = -1
\]
Tại đây:
- \( OA = x_1 \)
- \( OB = x_2 \)

Suy ra:
\[
x_1 \cdot x_2 = -1
\]

Theo Viète, với phương trình bậc hai đã lập ra \( x^2 + (1 - m)x + (-1 - m) = 0 \):
- Tổng \( x_1 + x_2 = -(1 - m) \)
- Tích \( x_1 x_2 = -1 - m \)

4. **Sử dụng điều kiện**:
Từ điều kiện \( x_1 \cdot x_2 = -1 \):
\[
-1 - m = -1 \implies m = 0
\]

5. **Kết luận**:
Giá trị của \( m \) sao cho đường thẳng \( d \) cắt đường cong \( C \) tại hai điểm phân biệt \( A \) và \( B \) sao cho \( OA \) vuông góc với \( OB \) là:
\[
m = 0
\]

Điều này đồng nghĩa với việc đường thẳng \( d \) trở thành trục hoành, và đường cong sẽ cắt nó tại hai điểm sao cho đoạn thẳng nối hai điểm này sẽ vuông góc với đoạn từ gốc tọa độ đến mỗi điểm.