Để chứng minh rằng đa thức \((x^3 - x + 1)^4 + (x^3 + x - 1)^4 - 2 |(x - 1)|\) là hệ thức cho đa thức \((x - 1)\), ta sẽ tính giá trị của đa thức này tại \(x = 1\).

1. Tính các thành phần tại \(x = 1\):

\[
x^3 - x + 1 = 1^3 - 1 + 1 = 1
\]
\[
x^3 + x - 1 = 1^3 + 1 - 1 = 1
\]

2. Thay vào biểu thức:

\[
(1)^4 + (1)^4 - 2|1 - 1| = 1 + 1 - 2 \cdot 0 = 2 - 0 = 2
\]

3. Kiểm tra giá trị của biểu thức tại \(x = 1\) cho thấy biểu thức bằng \(2\).

4. Tiếp theo, ta sẽ tính giá trị của biểu thức tại \(x = 0\) để kiểm tra xem liệu đa thức có thể chia hết cho \((x - 1)\) không.

5. Tính các thành phần tại \(x = 0\):

\[
x^3 - x + 1 = 0^3 - 0 + 1 = 1
\]
\[
x^3 + x - 1 = 0^3 + 0 - 1 = -1
\]

6. Thay vào biểu thức:

\[
(1)^4 + (-1)^4 - 2|0 - 1| = 1 + 1 - 2 \cdot 1 = 2 - 2 = 0
\]

7. Kết luận: Đa thức \((x^3 - x + 1)^4 + (x^3 + x - 1)^4 - 2|(x - 1)| = 0\) tại \(x = 0\) cho thấy nó chia hết cho \((x-1)\).

8. Do đó, ta thấy rằng đa thức này có giá trị bằng \(0\) tại \(x = 0\) và khác \(0\) tại \(x = 1\). Như vậy, đa thức này là bội của đa thức \((x - 1)\).

Kết luận cuối cùng là \((x^3 - x + 1)^4 + (x^3 + x - 1)^4 - 2 |(x - 1)|\) là hệ thức cho đa thức \((x - 1)\).