Để giải bài toán này, ta áp dụng hình học. Giả sử điểm gãy cách gốc cây là \( d \) mét. Theo đề bài, ngọn cây chạm đất cách gốc 3m và tạo với mặt đất một góc 65 độ.

Ta có thể hình dung được một tam giác vuông:
- Cạnh huyền là chiều dài ngọn cây từ điểm gãy xuống đất (với chiều dài này ta sẽ tính).
- Một cạnh kề là khoảng cách từ gốc đến điểm chạm đất (3m).
- Một cạnh đối diện là chiều cao gãy của cây.

Áp dụng công thức trong tam giác vuông:
\[
\tan(65^\circ) = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \frac{\text{chiều cao gãy}}{3}
\]

Giải phương trình này để tìm chiều cao gãy:
\[
\text{chiều cao gãy} = 3 \cdot \tan(65^\circ)
\]

Tiếp theo, tính góc và giá trị:
\[
\tan(65^\circ) \approx 2.1445
\]
Nên:
\[
\text{chiều cao gãy} \approx 3 \cdot 2.1445 \approx 6.4335 \text{m}
\]

Giờ ta có thể tính khoảng cách từ gốc đến điểm gãy:
\[
d = \text{chiều cao cây} - 6.4335 \text{m}
\]

Cho nên, nếu \( HT \) là chiều cao của cây ban đầu, ta có:
\[
d = HT - 6.4335
\]
Lưu ý rằng nếu chiều cao cây ban đầu không được cho cụ thể, ta không thể tính được \( d \) một cách chính xác.

Kết luận là điểm gãy cách gốc cây khoảng \( d \) mét tùy thuộc vào chiều cao gốc cây.