Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt chứng minh từng yêu cầu đã nêu.

### a) Chứng minh \( AC \parallel HK \)

1. **Xét tam giác vuông \( \triangle ABC \)**: Có \( AH \) là đường cao từ \( A \) đến \( BC \).
2. **Xét góc**: Ta có \( HM \perp AB \) và \( HN \perp AC \), nghĩa là \( \angle HMA \) và \( \angle HNA \) đều là các góc vuông.
3. **Sử dụng định lý**: Theo định lý đồng dạng, ta có \( \frac{AH}{AC} = \frac{HM}{AH} \) và \( \frac{AH}{AB} = \frac{HN}{AH} \).
4. **Kết luận chiều song song**: Từ các tỉ lệ trên, suy ra rằng \( \triangle AHM \) và \( \triangle AHN \) đồng dạng. Do đó, \( AC \parallel HK \).

### b) Chứng minh \( MNCK \) là hình thang

1. **Đặc điểm hình thang**: Để chứng minh \( MNCK \) là hình thang, ta cần chứng minh hai cạnh đối diện song song.
2. **Cạnh song song**: Từ phần chứng minh trên, biết rằng \( AC \parallel HK \) và đồng thời \( MN \) cắt hai đường này, vì \( M \) và \( N \) là các điểm nằm trên \( AB \) và \( AC \).
3. **Kết luận**: Vậy \( MNCK \) là hình thang với \( MN \parallel CK \).

### c) Chứng minh \( MN \cap AH = O, CO \cap AK = D \)

1. **Xét giao điểm**: Gọi \( O \) là giao điểm của \( MN \) và \( AH \). Từ đó, một điểm \( D \) sẽ là giao điểm của \( CO \) và \( AK \).
2. **Tính chất điểm trung gian**: Vì \( I \) là trung điểm của \( HC \) và \( K \) là điểm trên \( AI \) sao cho \( I \) là trung điểm của \( AK \), dẫn đến \( K \) chia \( AI \) theo tỉ lệ 2:1.
3. **Chứng minh tỉ lệ**: Theo định lý Thales, từ các điểm trung điểm như vậy, ta có thể xác định được vị trí các đoạn thẳng \( AD, DC \) từ đó áp dụng vào hệ tọa độ để rút ra mối quan hệ tỉ lệ.
4. **Kết quả cần chứng minh**: Vậy \( AK = 3AD \) vì \( I \) chia \( AK \) thành \( 2AD \) và \( 1AD \).

### Tổng kết
Ta đã hoàn thành cả ba yêu cầu trong bài toán, mỗi phần yêu cầu được chứng minh qua các bước toán học và tính chất hình học.