Để giải bài toán, ta giả sử số hai chữ số cần tìm là \(xy\), trong đó \(x\) là chữ số ở hàng chục và \(y\) là chữ số ở hàng đơn vị.

Theo đề bài, ta có các điều kiện sau:

1. Tổng các chữ số:
\[
x + y = 9
\]

2. Nếu cộng thêm 63, số mới sẽ là \(yx\) (viết theo thứ tự ngược lại).
- Số \(xy\) có giá trị là \(10x + y\).
- Số \(yx\) có giá trị là \(10y + x\).

Từ điều kiện thứ hai, ta có phương trình:
\[
10x + y + 63 = 10y + x
\]

Rút gọn phương trình này:
\[
10x + y + 63 - x = 10y
\]
\[
9x + 63 = 9y
\]
Chia cả hai vế cho 9:
\[
x + 7 = y
\]

Bây giờ ta có hai phương trình:
1. \(x + y = 9\)
2. \(y = x + 7\)

Thay \(y\) từ phương trình 2 vào phương trình 1:
\[
x + (x + 7) = 9
\]
\[
2x + 7 = 9
\]
\[
2x = 2
\]
\[
x = 1
\]

Từ \(x = 1\) suy ra:
\[
y = 9 - x = 9 - 1 = 8
\]

Vậy số cần tìm là \(xy = 18\).

**Kết luận**: Số đó là \(18\).