Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành các bước cụ thể như sau:

### a) Tính tọa độ các điểm B, C và độ dài BC, AH

Cho tam giác vuông ABC với \( AB = 6 \) cm và \( AC = 8 \) cm. Ta có thể đặt tọa độ các điểm như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(6, 0) \)
- \( C(0, 8) \)

Tính độ dài \( BC \):
\[
BC = \sqrt{(6 - 0)^2 + (0 - 8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
\]

Tính độ cao \( AH \) sử dụng công thức \( AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} \):
\[
AH = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4.8 \text{ cm}
\]

### b) Chứng minh rằng \( AM \cdot AB = AH^2 \) và \( AM \cdot AB = AN \cdot AC \)

Theo định nghĩa của các điểm M và N:
- M là chân đường cao từ H xuống AB (tức là vuông góc với AB).
- N là chân đường cao từ H xuống AC (tức là vuông góc với AC).

Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:
\[
\begin{align*}
AM \cdot AB &= AH^2 \implies AM \cdot 6 = 4.8^2 \implies AM = \frac{4.8^2}{6} = \frac{23.04}{6} = 3.84 \text{ cm} \\
AN \cdot AC &= AH^2 \implies AN \cdot 8 = 4.8^2 \implies AN = \frac{4.8^2}{8} = \frac{23.04}{8} = 2.88 \text{ cm}
\end{align*}
\]

### c) Chứng minh \( D \) là trung điểm của \( BC \)

Mặt phẳng \( MN \) cắt \( BC \) tại \( D \). Để chứng minh \( D \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \), ta sẽ tính tọa độ của D:

Tọa độ \( B \) là \( (6, 0) \) và tọa độ \( C \) là \( (0, 8) \). Tọa độ trung điểm \( D \) được tính như sau:
\[
D\left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}\right) = \left(\frac{6 + 0}{2}, \frac{0 + 8}{2}\right) = \left(3, 4\right)
\]

### Kết luận

- Tọa độ các điểm đã tính chính xác.
- Chứng minh \( AM \cdot AB = AH^2 \) và \( AM \cdot AB = AN \cdot AC \) hợp lệ.
- Kết luận rằng \( D \) là trung điểm của \( BC \).