Để giải bài toán này, ta cần phân tích phương trình bậc hai sau đây:

\[ x^2 + 2(m-1)x + m^2 - 3m + 4 = 0 \]

### a) Tìm giá trị của \( m \) để phương trình có nghiệm:
Đặt \( m = -1 \):

Thay vào phương trình:

\[ x^2 + 2(-1-1)x + (-1)^2 - 3(-1) + 4 = 0 \]

\[ x^2 - 4x + 1 + 3 + 4 = 0 \]

\[ x^2 - 4x + 8 = 0 \]

Giải phương trình này để kiểm tra xem nó có nghiệm hay không bằng cách tính delta (\( \Delta \)):

\[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16 \]

Vì \( \Delta < 0 \), phương trình này không có nghiệm thực.

### b) Tìm \( m \) để phương trình có nghiệm:
Để phương trình có nghiệm, \( \Delta \) phải lớn hơn hoặc bằng 0:

\[ \Delta = [2(m-1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2 - 3m + 4) \geq 0 \]

Tính \( \Delta \):

\[ \Delta = 4(m-1)^2 - 4(m^2 - 3m + 4) \]

Rút gọn:

\[ = 4 \left[(m-1)^2 - (m^2 - 3m + 4)\right] \]

\[ = 4 \left[m^2 - 2m + 1 - m^2 + 3m - 4\right] \]

\[ = 4(1+m-4) = 4(m-3) \]

Giải bất phương trình:

\[ 4(m-3) \geq 0 \]

Từ đó suy ra:

\[ m \geq 3 \]

### c) Tìm m nghiệm kép:
Phương trình có nghiệm kép khi \( \Delta = 0 \):

\[ 4(m-3) = 0 \implies m = 3 \]

Kết luận:

- a) \( m = -1 \) không có nghiệm thực.
- b) \( m \geq 3 \) cho nghiệm thực.
- c) Giá trị duy nhất cho nghiệm kép là \( m = 3 \).