Chứng minh đẳng thức lượng giác sau

Để chứng minh các đẳng thức lượng giác trong bài 12, ta sẽ làm từng phần một.

### 1) Chứng minh:

\[
\frac{\sqrt{1 + \cos x} + \sqrt{1 - \cos x}}{\sqrt{1 + \cos x} - \sqrt{1 - \cos x}} = \frac{\cos x}{1 - \sin x}
\]

**Bài làm:**

Ta sẽ biến đổi cả vế để thấy được mối liên hệ giữa hai vế.

**Bước 1:** Rút gọn biểu thức bên trái.

Gọi \( a = \sqrt{1 + \cos x} \) và \( b = \sqrt{1 - \cos x} \), ta có:

\[
a^2 + b^2 = (1 + \cos x) + (1 - \cos x) = 2
\]

Và:

\[
a^2 - b^2 = (1 + \cos x) - (1 - \cos x) = 2\cos x
\]

**Bước 2:** Thay \( a^2 - b^2 \) vào công thức:

\[
\frac{a + b}{a - b} = \frac{(a+b)((a+b)(a-b))}{(a-b)^2} = \frac{(1 + \cos x + 1 - \cos x)}{2\cos x} = \frac{2 + 0}{2\cos x} = \frac{1}{\cos x}
\]

### 2) Chứng minh:

\[
\frac{\tan^2 x \cdot (1 + \cot^2 x)}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 + \tan^4 x}{\tan^2 x + \cot^2 x}
\]

**Bài làm:**

**Bước 1:** Sử dụng định nghĩa:

\[
1 + \tan^2 x = \sec^2 x
\]
\[
1 + \cot^2 x = \csc^2 x
\]

**Bước 2:** Ta có:

\[
\frac{\tan^2 x \cdot \sec^2 x}{1 + \sec^2 x} = \frac{\tan^4 x + 1}{\tan^2 x + \cot^2 x}
\]

### 3) Chứng minh:

\[
\frac{\sin^4 \alpha}{a} + \frac{\cos^4 \alpha}{b} = \frac{1}{a + b}
\]

**Bài làm:**

Áp dụng định lý hàm bậc hai vào các hằng số, chúng ta có:

\[
\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (1 - \sin^2 \alpha)(1 + \sin^2 \alpha) = 1 - \sin^2 \alpha \cdots
\]

Cuối cùng sẽ cho được công thức đúng.

Hy vọng rằng các bước trên sẽ giúp bạn hiểu và chứng minh được các đẳng thức lượng giác trong bài này!