Cho tam giác ABC nhọn. Gọi I là giao điểm của hai đường phân giác trong của góc B và góc C. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên AB

Để giải bài toán, ta cần chứng minh BC và AC là tiếp tuyến của đường tròn có tâm I và bán kính IH.

### a) Chứng minh BC là tiếp tuyến của (I; IH)

Gọi \( D \) là giao điểm của đường thẳng BC với đường tròn (I; IH). Để chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của (I; IH), ta cần chứng minh rằng góc \( BDI \) vuông.

1. **Xét tam giác AIB và tam giác AIC:**
- Trong tam giác AIB, I là giao điểm của hai đường phân giác của \( \angle BAI \) và \( \angle ABI \). Từ định lý đường phân giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AI} = \frac{BI}{AI} \quad \text{(1)}
\]
- Tương tự, trong tam giác AIC:
\[
\frac{AC}{AI} = \frac{CI}{AI} \quad \text{(2)}
\]

2. **Phân tích vị trí của điểm I:**
- Vì I là giao điểm của hai đường phân giác nên nó chia góc \( \angle BAC \) thành hai góc bằng nhau. Do đó, có mối quan hệ giữa hai góc xung quanh điểm I.

3. **Chứng minh góc BDI vuông:**
- Xét tam giác AIB, ta có:
\[
\angle AIB = 90° - \frac{1}{2} \angle BAC
\]
- H là hình chiếu vuông góc của điểm I trên AB. Theo định nghĩa của hình chiếu, \( \angle AHI = 90° \).
- Khi xem xét đường thẳng BC, góc BDI sẽ vuông nếu góc ABH và BDI liên quan đến nhau theo công thức. Do đường tròn (I; IH) có H nằm trên AB, do đó:
\[
\angle BDI = \angle ABH = 90°
\]
- Từ đây, ta suy ra BC là tiếp tuyến với đường tròn (I; IH).

### b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của (I; IH)

Tương tự như phần a), ta sẽ chứng minh rằng AC cũng là tiếp tuyến của đường tròn (I; IH).

1. **Xét tam giác AIC:**
- Điểm I lại là giao điểm của hai đường phân giác của góc A, tức là:
\[
\angle AIC = 90° - \frac{1}{2} \angle BAC
\]

2. **Chứng minh góc CDI vuông:**
- Hình chiếu H cũng cho thấy rằng \( \angle AHI = 90° \).
- Với đường thẳng AC và góc C, dấu hiệu của tiếp tuyến tại điểm I cho thấy:
\[
\angle ACI = \angle AHI = 90°
\]

3. **Kết luận:**
- Từ đó, ta có góc ACI vuông, chứng tỏ rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn (I; IH).

### Kết luận

Cuối cùng, chúng ta kết luận rằng:
- BC là tiếp tuyến của đường tròn (I; IH).
- AC là tiếp tuyến của đường tròn (I; IH).

Vậy ta đã chứng minh xong các phần trong bài toán.