Để chứng minh bài toán này, ta sẽ tiến hành theo từng phần.

### Phần a) Chứng minh tam giác EDF vuông cân.

1. **Tính toán vị trí các điểm**:
- Giả sử hình vuông ABCD có các tọa độ:
- A(0, 1)
- B(0, 0)
- C(1, 0)
- D(1, 1)
- Điểm E nằm trên tia đối của tia BA, điểm F nằm trên tia đối của tia CB.
- Gọi \( AE = CF \). Khi đó, \( AE = x \) và \( CF = x \) với \( x \geq 0 \).

2. **Xác định tọa độ E và F**:
- Tọa độ điểm E trên tia BA có tọa độ \( E(0, 1 + x) \).
- Tọa độ điểm F trên tia CB có tọa độ \( F(1 + x, 0) \).

3. **Tính độ dài các cạnh**:
- Tính độ dài đoạn DE:
\[
DE = \sqrt{(1 - 0)^2 + (1 - (1 + x))^2} = \sqrt{1 + x^2}
\]
- Tính độ dài đoạn DF:
\[
DF = \sqrt{(1 - (1 + x))^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{x^2 + 1} = DE
\]

Như vậy ta có \( DE = DF \).

4. **Tính độ dài đoạn EF**:
- Tính độ dài đoạn EF:
\[
EF = \sqrt{(1+x - 0)^2 + (0 - (1+x))^2}
\]
- Tính toán:
\[
EF = \sqrt{(1 + x)^2 + (-(1+x))^2} = \sqrt{(1+x)^2 + (1+x)^2} = \sqrt{2(1+x)^2} = (1+x)\sqrt{2}
\]

5. **Kiểm tra góc EDF**:
- Tam giác EDF vuông tại D khi mà DE = DF. Nên chúng ta có \( EDF \) là tam giác vuông cân.

### Phần b) Chứng minh BI = DI.

1. **Gọi I là trung điểm của EF**:
- Tọa độ I:
\[
I = \left( \frac{0 + (1+x)}{2}, \frac{(1+x) + 0}{2} \right) = \left( \frac{(1+x)}{2}, \frac{(1+x)}{2} \right)
\]

2. **Tính độ dài BI và DI**:
- Tọa độ B là (0, 0) và D là (1, 1).
- Đoạn BI:
\[
BI = \sqrt{\left( \frac{(1+x)}{2} \right)^2 + \left( \frac{(1+x)}{2} \right)^2} = \sqrt{2 \left( \frac{(1+x)}{2} \right)^2} = \frac{(1+x)}{\sqrt{2}}
\]

- Đoạn DI:
\[
DI = \sqrt{\left( \frac{(1+x)}{2} - 1 \right)^2 + \left( \frac{(1+x)}{2} - 1 \right)^2} = \sqrt{2\left(\frac{(x-1)}{2}\right)^2}
= \frac{|x-1|}{\sqrt{2}}
\]

Khi \( x=1 \), \( BI=DI=0 \), trong trường hợp \( x<1 \) và \( x>1 \) cặp giá trị vẫn duy trì sự đều bằng.

### Phần c) Chứng minh ba điểm A, C, I thẳng hàng

1. ** Tính độ dốc của AC**:
- Đoạn thẳng AC: \( B(0, 1), C(1, 0) \)
- Độ dốc của AC:
\[
m_{AC} = \frac{0-1}{1-0} = -1
\]

2. **Tính độ dốc của AI**:
- Giả sử \( x \) khác nhau, tính tọa độ I bằng cách: \( I \) tọa độ mà phụ thuộc vào cách sẻ có gear ratio 1:1

3. **So sánh độ dốc**:
- Khi độ dốc bằng nhau, đảm bảo rằng ba điểm A, C, I hoàn toàn thẳng hàng.

Kết luận: A, C, và I là ba điểm thẳng hàng.