So sánh hai biểu thức A và B, biết

Để so sánh hai biểu thức \( A \) và \( B \), ta cần phân tích chúng một cách chi tiết.

Biểu thức \( A \) được định nghĩa như sau:

\[
A = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \ldots + \frac{1}{2024 \cdot 2025}
\]

Biểu thức \( B \):

\[
B = \frac{3^{2023}}{3^{2023} + 4^{2024} + 5^{2025} + 6^{2026} + 5^{2027} + 3^{2028}}
\]

**Phân tích biểu thức \( A \):**

Biểu thức \( A \) có thể được tính bằng tổng các phân số, trong đó mỗi phân số có dạng \(\frac{1}{n(n+1)}\). Ta có thể viết lại chúng bằng cách sử dụng phân tích thành phần:

\[
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
\]

Điều này giúp biến đổi tổng \( A \) thành một chuỗi Telescoping:

\[
A = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{2024} - \frac{1}{2025} \right) = 1 - \frac{1}{2025}
\]

Ta có:

\[
A = 1 - \frac{1}{2025} = \frac{2024}{2025}
\]

**Phân tích biểu thức \( B \):**

Để tính \( B \), lưu ý rằng các số mũ trong \( B \) đều rất lớn. Thông thường, trong trường hợp này \( 5^{2025} \) sẽ chiếm ưu thế lớn nhất, do đó:

\[
B \approx \frac{3^{2023}}{5^{2025}}
\]

**So sánh \( A \) và \( B \)**:

- Tính \( A = \frac{2024}{2025} \approx 1 \)
- Tính \( B \):

Xét thông qua tỷ lệ:

\[
B \approx \frac{3^{2023}}{5^{2025}} = \frac{3^{2023}}{5^{2023} \cdot 5^2} = \frac{(3/5)^{2023}}{25} \text{ (vì } 3/5 < 1\text{)}
\]

Từ đây, \( (3/5)^{2023} \) sẽ rất nhỏ nên \( B \) cũng sẽ rất nhỏ.

**Kết luận:**

\( A > B \) vì \( A \) gần 1 trong khi \( B \) lại gần 0.