Để tính giá trị của biểu thức \( C = (1 - \frac{2}{2 \cdot 3})(1 - \frac{2}{3 \cdot 4})(1 - \frac{2}{4 \cdot 5}) \cdots (1 - \frac{2}{2020 \cdot 2021}) \), ta bắt đầu bằng cách giản lược từng thành phần trong sản phẩm.

Ta có thể viết lại từng thành phần như sau:

\[
1 - \frac{2}{n(n+1)} = \frac{n(n+1) - 2}{n(n+1)} = \frac{n^2 + n - 2}{n(n+1)}
\]

Ta nhận thấy rằng \( n^2 + n - 2 = (n-1)(n+2) \). Do đó, ta có:

\[
1 - \frac{2}{n(n+1)} = \frac{(n-1)(n+2)}{n(n+1)}
\]

Bây giờ, áp dụng công thức này vào biểu thức \( C \):

\[
C = \prod_{n=2}^{2020} \left(1 - \frac{2}{n(n+1)}\right) = \prod_{n=2}^{2020} \frac{(n-1)(n+2)}{n(n+1)}
\]

Ta chia sản phẩm thành hai phần:

\[
C = \frac{\prod_{n=2}^{2020} (n-1) \prod_{n=2}^{2020} (n+2)}{\prod_{n=2}^{2020} n \prod_{n=2}^{2020} (n+1)}
\]

Bây giờ ta tính từng phần:

1. **Phần tử (n-1)**:

\[
\prod_{n=2}^{2020} (n-1) = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots \cdot 2019 = 2019!
\]

2. **Phần tử (n+2)**:

\[
\prod_{n=2}^{2020} (n+2) = 4 \cdot 5 \cdots \cdot 2022 = \frac{2022!}{3!}
\]

3. **Phần tử n**:

\[
\prod_{n=2}^{2020} n = 2 \cdot 3 \cdots \cdot 2020 = 2020!
\]

4. **Phần tử (n+1)**:

\[
\prod_{n=2}^{2020} (n+1) = 3 \cdot 4 \cdots \cdot 2021 = \frac{2021!}{2!}
\]

Thay các giá trị này vào biểu thức \( C \):

\[
C = \frac{2019! \cdot \frac{2022!}{3!}}{2020! \cdot \frac{2021!}{2!}}
\]

Chuyển đổi để đơn giản hóa:

\[
C = \frac{2019! \cdot 2022!}{2020! \cdot 2021!} \cdot \frac{2!}{3!}
\]

Biết rằng

\[
3! = 6, \quad \text{và } 2! = 2,
\]

Và

\[
\frac{2019!}{2020!} = \frac{1}{2020}, \quad \text{và } \frac{2022!}{2021!} = 2022
\]

Do đó ta có:

\[
C = \frac{1}{2020} \cdot 2022 \cdot \frac{2}{6} = \frac{2022}{2020} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1011}{1010} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1011}{3030}
\]

Cuối cùng, ta có:

\[
C = \frac{2022}{6060}
\]

Và rút gọn sẽ cho ta \( C \) là:

\[
\boxed{\frac{1011}{3030}} \text{ (có thể tiếp tục rút gọn nếu cần, nhưng chính xác là cuối cùng vẫn là dạng này)}
\]