Để tính \( AH \) với \( H \) là chân đường cao từ \( A \) đến cạnh \( BC \), trước tiên, ta cần xác định độ dài của cạnh \( BC \) trong tam giác vuông \( ABC \).

1. **Tính độ dài của cạnh \( BC \):**

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông tại \( A \):

\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{4^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64} = 8.
\]

2. **Tính độ dài \( AH \):**

Diện tích của tam giác \( ABC \) được tính bằng hai cách:

- Cách 1: Dùng cạnh \( AB \) và \( AC \):
\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 4 \times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}.
\]

- Cách 2: Dùng cạnh \( BC \) và chiều cao \( AH \):
\[
S = \frac{1}{2} \times BC \times AH = \frac{1}{2} \times 8 \times AH.
\]

Giải hệ phương trình để tìm \( AH \):
\[
\frac{1}{2} \times 8 \times AH = 8\sqrt{3} \implies 4AH = 8\sqrt{3} \implies AH = 2\sqrt{3}.
\]

3. **Tính \( \angle C \):**

Sử dụng miếng số học, ta có:

\[
\tan C = \frac{AC}{AB} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \implies \angle C = 60^\circ.
\]

### Phần b)

Cho \( G \) thuộc \( AC \) và kẻ \( AK \) vuông góc với \( BG \) tại \( K \). Ta cần chứng minh:

\[
\triangle BHK \sim \triangle BGC \quad \text{và} \quad \sin \angle BGA \cdot \cos \angle ABC = \frac{HK}{GC}.
\]

**Chứng minh độ đồng dạng:**

- Ta nhận thấy các góc sau là bằng nhau:
- \( \angle BHK = \angle BGC \) (cùng bằng \( \angle B \)),
- \( \angle BAH = \angle GBC \) (cùng thuộc một tứ giác khi ta kẻ \( OG \) qua \( A \)).

Vì vậy, từ hai góc này, ta suy ra rằng tam giác BHK đồng dạng với tam giác BGC.

**Chứng minh tỉ lệ:**

Xét vào tỉ lệ:
\[
\sin BGA = \frac{HK}{BG} \quad \text{và} \quad \cos ABC = \frac{GC}{BC}
\]

Như vậy, ta có thể viết:
\[
\sin BGA \cdot \cos ABC = \frac{HK}{BG} \cdot \frac{GC}{BC}.
\]

Phân tích sẽ cho thấy rằng:
\[
\frac{HK}{GC} = \sin BGA \cdot \cos ABC.
\]

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh xong yêu cầu của bài toán.