Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành phân tích và chứng minh các yêu cầu được đưa ra.

**Giả thiết:**
- Tam giác \( ABC \) vuông cân tại \( A \) tức là \( AB = AC \).
- \( M \) là trung điểm của \( BC \).
- \( D \) nằm giữa \( B \) và \( M \).
- \( H \) là hình chiếu của \( B \) xuống \( AD \).
- \( I \) là hình chiếu của \( C \) xuống \( AD \).
- Đường thẳng \( AM \) cắt \( CI \) tại \( N \).

**Chứng minh:**

### a) \( BH = AI \) và \( DN \parallel AB \)

1. **Chứng minh \( BH = AI \)**:
- Xét tam giác vuông \( ABH \) và \( ACI \).
- Bởi vì \( AB = AC \) và \( \angle AHB = \angle AIC = 90^\circ \) (do \( H \) và \( I \) là hình chiếu), ta có:
\[
BH = AB \cdot \sin(\angle AHB) \quad \text{và} \quad AI = AC \cdot \sin(\angle AIC)
\]
- Vì \( AB = AC \) nên \( BH = AI \).

2. **Chứng minh \( DN \parallel AB \)**:
- Bởi vì \( DN \) cắt \( CI \) tại \( N \) và \( I \) là hình chiếu của \( C \) xuống \( AD \), \( DN \) sẽ vuông góc với \( AD \).
- Tương tự, \( AB \) cũng vuông góc với \( AD \) vì tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \).
- Do đó, \( DN \parallel AB \).

### b) Tam giác \( AIM \cong tam giác BHM \)

- Xét tam giác \( AIM \) và \( BHM \):
1. \( AM = BM \) (do \( M \) là trung điểm của \( BC \)).
2. \( \angle AIM = \angle BHM = 90^\circ \) (cả hai đều có một góc vuông tại \( I \) và \( H \)).
3. \( AI = BH \) vừa chứng minh ở trên.

- Từ đây, theo tiêu đề bên cạnh, ta có thể suy luận sử dụng tiêu đề thể hiện rằng:
\[
\triangle AIM \cong \triangle BHM \quad \text{(căn cứ vào tiêu đề cạnh-góc-cạnh)}
\]

### c) IM là phân giác của góc HIC

- Bởi vì:
1. \( AI = BH \) (căn cứ vào điểm a), từ đó suy ra rằng hình chiếu \( I \) và \( H \) có tỉ lệ bằng nhau.
2. Do đó, đường thẳng \( IM \) chia góc \( HIC \) thành hai góc bằng nhau, tức là \( IM \) là phân giác của góc \( HIC \).

### Kết luận:
Ta đã chứng minh được ba kết luận:
1. \( BH = AI \) và \( DN \parallel AB \).
2. \( \triangle AIM \cong \triangle BHM \).
3. \( IM \) là phân giác của góc \( HIC \).

Chúc mừng! Bài toán đã được giải quyết!