Tính diện tích lớn nhât của nền nhà

Để tính diện tích lớn nhất của nền nhà hình chữ nhật nằm trong tam giác ABC, trước tiên chúng ta cần biết thông tin về tam giác này.

1. **Diện tích của tam giác ABC**:
Diện tích (S) của tam giác ABC có thể được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao}
\]
Ở đây, cạnh BC là đáy và đường cao AH là chiều cao. Thay các giá trị vào công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times 30 \times 12 = 180 \, \text{m}^2
\]

2. **Nhà hình chữ nhật**:
Hãy giả sử chiều dài của hình chữ nhật nằm trên cạnh BC là \( x \) (với \( x \leq 30 \)). Gọi chiều cao của hình chữ nhật là \( h \). Diện tích của hình chữ nhật sẽ là:
\[
S_{\text{chữ nhật}} = x \cdot h
\]

Để hiểu chiều cao \( h \) của hình chữ nhật này, nó sẽ phụ thuộc vào vị trí của các đỉnh của hình chữ nhật trên các cạnh AB và AC.

3. **Tính chiều cao của hình chữ nhật**:
Xét tam giác ABC, khi kéo đường thẳng song song với BC tại điểm H để tạo thành các hình chữ nhật. Chiều cao của hình chữ nhật \( h \) khi chiều rộng \( x \) được đặt trên cạnh BC sẽ tỷ lệ thuận với đoạn chiều cao AH của tam giác ABC. Chiều cao tại điểm tương ứng ở BC cho chiều dài \( x \) là:
\[
h = \frac{12}{30} \cdot x = \frac{2}{5} x
\]

4. **Diện tích hình chữ nhật**:
Bây giờ, ta sẽ thay \( h \) vào công thức diện tích của hình chữ nhật:
\[
S_{\text{chữ nhật}} = x \cdot h = x \cdot \frac{2}{5} x = \frac{2}{5} x^2
\]

5. **Tìm diện tích lớn nhất**:
Để tìm diện tích lớn nhất, ta tìm giá trị tối đa của hàm \( S(x) = \frac{2}{5} x^2 \) trong khoảng từ \( 0 \) đến \( 30 \) (bởi vì chiều dài \( x \) của hình chữ nhật không thể lớn hơn \( 30 \)):
- \( S'(x) = \frac{4}{5} x \)
- Đặt \( S'(x) = 0 \):
\[
\frac{4}{5} x = 0 \implies x = 0
\]
- Kiểm tra chiều dài ở biên:
\[
S(0) = 0; \quad S(30) = \frac{2}{5} (30^2) = \frac{2}{5} \times 900 = 360 \, \text{m}^2
\]
Do đó, diện tích lớn nhất mà nền nhà của bà Hạnh có thể đạt được là:
\[
\boxed{360} \, \text{m}^2
\]