Cho tam giác ABC vuông tại A. AB = 2, BC = 4. Tính góc B và AC

**a)** Để tính góc B và độ dài AC trong tam giác vuông ABC (vuông tại A) với AB = 2 và BC = 4, ta sử dụng định lý Pythagore.

Áp dụng định lý Pythagore:
\[
AC^2 + AB^2 = BC^2
\]
Ta có:
\[
AC^2 + 2^2 = 4^2
\]
\[
AC^2 + 4 = 16
\]
\[
AC^2 = 16 - 4 = 12
\]
\[
AC = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}
\]

Để tính góc B, ta dùng định nghĩa của các hàm lượng giác trong tam giác vuông:
\[
\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}
\]
Do đó,
\[
B = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^\circ
\]

**b)** Để chứng minh tam giác DKH đồng dạng với tam giác BKC, ta có thông tin như sau:
- H thuộc AC
- BH vuông góc với AC, cắt AC tại D
- DH cắt BC tại E

Vì BH vuông góc với AC, nên góc DKH sẽ bằng góc BKC.

Chúng ta sẽ dùng định nghĩa đồng dạng tam giác. Theo nguyên tắc:
- Angles (góc) ở vị trí tương ứng trong hai tam giác này là bằng nhau.
- Đoạn DK tương ứng với BK, và DH tương ứng với BC.

Bây giờ ta cần chứng minh rằng, DK = DH * sin(BCK). Từ tam giác DKH và BKC, ta có:
\[
\tan BCK = \frac{AC}{BC} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Do đó,
\[
DK = DH * \sin BCK
\]

Establishing the similarity of triangles DKH and BKC will draw on these angle relationships and the fact that their positions and corresponding sides relate via the proportionality constants.

**c)** Khi biết BD = 3. Để tính diện tích tam giác ABE, trước tiên chúng ta cần tìm chiều cao từ A xuống BC.

Chúng ta biết chiều dài BC = 4 và BD = 3, do đó Đây là các đoạn:
- DE = BC - BD = 4 - 3 = 1.

Sử dụng công thức diện tích tam giác:
\[
\text{Diagonal area} = \frac{1}{2} \times (BA) \times (height)
\]
Tại đây, chiều cao (khoảng cách từ A tới đường thẳng BC) chính là độ dài AC mà chúng ta đã tính được trước đó,
\[
\text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times AB \times DE
\]
\[
= \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1
\]

Như vậy, diện tích tam giác ABE là 1.