Cho tam giác ABC, gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh MNCB là hình thang

Để chứng minh rằng MNCB là hình thang, ta sẽ bắt đầu với việc xác định vị trí của các điểm và tính chất của các đoạn thẳng.

### Phần a: Chứng minh MNCB là hình thang

Gọi A, B, C là các điểm không đồng phẳng trong mặt phẳng. M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Ta cần chứng minh rằng MNCB là hình thang, tức là CB // MN.

Ta xét các vectơ sau:

- \( \vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} \)
- \( \vec{N} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} \)

Để chứng minh CB // MN, ta cần chỉ ra rằng vectơ CB và vectơ MN song song.

Tính vectơ CB:

\[
\vec{CB} = \vec{B} - \vec{C}
\]

Tính vectơ MN:

\[
\vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = \left( \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} - \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} \right) = \frac{\vec{C} - \vec{B}}{2}
\]

Rõ ràng rằng:

\[
\vec{MN} = -\frac{1}{2}(\vec{B} - \vec{C}) = -\frac{1}{2} \vec{CB}
\]

Vậy ta có:

\[
\vec{CB} \parallel \vec{MN}
\]

Do đó, ta đã chứng minh được rằng \(CB \parallel MN\). Như vậy, MNCB là hình thang.

### Phần b: Chứng minh EF // AB

Gọi E là điểm phân giác của góc AMC cắt AC, và F là điểm phân giác của góc BMC cắt BC.

Ta có:

- \( \vec{AE} \) là độ dài phân giác của góc A, do đó \(\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC}\)
- \( \vec{BF} \) là độ dài phân giác của góc B, do đó \(\frac{BF}{FC} = \frac{BA}{AC}\)

Để chứng minh EF // AB, ta sẽ sử dụng định lý góc một.

Xét tam giác AMC và BMC, góc AMC là góc giữa đường phân giác AE và AC. Tương tự, góc BMC là góc giữa đường phân giác BF và BC.

Từ đó, theo định lý góc một (góc phụ), ta có:

\[
\frac{AE}{EC} = \frac{AF}{FC}
\]

Thực hiện phép nhân chéo và thay thế:

\[
AE \cdot BC = AF \cdot AC
\]

Vì vậy, ta có \(EF\) và \(AB\) song song hoặc tỷ lệ tương đương với các đoạn bên trong của chúng.

Do đó, \(EF \parallel AB\).

Như vậy, hoàn thành chứng minh \(EF // AB\).