Để giải bài toán, ta thực hiện các bước như sau:

1. **Xác định các thông số**:
- Đường tròn có bán kính \(R = 2 \, \text{cm}\) và tâm \(O\).
- Điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn với khoảng cách \(OM = 2\sqrt{2} \, \text{cm}\).

2. **Tính độ dài của các tiếp tuyến**:
- Độ dài của tiếp tuyến từ điểm \(M\) đến đường tròn là:
\[
MA = MB = \sqrt{OM^2 - R^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 2^2} = \sqrt{8 - 4} = \sqrt{4} = 2 \, \text{cm}
\]

3. **Tính diện tích tam giác \(OMA\)**:
- Diện tích của tam giác \(OMA\) có thể tính bằng công thức:
\[
S_{OMA} = \frac{1}{2} \times OA \times OM \times \sin \angle OMA
\]
- Trong đó, \(\angle OMA\) là góc 90 độ do \(OA\) vuông góc với tiếp tuyến \(MA\):
\[
S_{OMA} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{2} \times 1 = 2\sqrt{2} \, \text{cm}^2
\]

4. **Tính diện tích hình quạt \(OAB\)**:
- Đầu tiên, ta tính góc \(\angle AOB\) (góc ở tâm) bằng cách sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông \(OMA\):
\[
\cos \angle AOB = \frac{OA}{OM} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \angle AOB = 90^\circ
\]
- Diện tích hình quạt bằng:
\[
S_{OAB} = \frac{1}{4} \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi (2^2) = \pi \, \text{cm}^2
\]

5. **Tính diện tích hình giới hạn**:
- Diện tích hình giới hạn giữa \(S_{OMA}\), \(S_{OMB}\), và cung \(AB\):
\[
S = S_{OAB} - S_{OMA} - S_{OMB} = \pi - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \pi - 4\sqrt{2} \, \text{cm}^2
\]

Do đó, diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng \(MA, MB\) và cung nhỏ \(AB\) là:

\[
\boxed{\pi - 4\sqrt{2} \, \text{cm}^2}
\]