Cho tam giác ABC vuông cân tại C, M là điểm bất kỳ trên cạnh AB. Vẽ MF vuông góc BC tại F, ME vuông góc AC tại E. Gọi D là trung điểm AB

Để tìm vị trí điểm \( M \) trên cạnh \( AB \) sao cho độ dài \( EF \) là ngắn nhất, trước tiên ta cần phân tích hình vẽ và các thuộc tính liên quan đến tam giác vuông cân \( ABC \) và các điểm \( D, E, F \).

1. **Hình vẽ và các thuộc tính**:
- Tam giác \( ABC \) vuông cân tại \( C \), tức là \( AB = AC \) và \( \angle ACB = 90^\circ \).
- \( D \) là trung điểm của \( AB \).
- Khi ta có \( M \) là điểm bất kỳ trên \( AB \), ta sẽ có các điểm \( E \) và \( F \) lần lượt là giao điểm của các đường vuông góc \( ME \) và \( MF \) với các cạnh \( AC \) và \( BC \).
- Từ tính chất của hình chữ nhật \( CFME \) và tính chất của tam giác vuông, ta có thể phân tích thêm về các độ dài.

2. **Biểu thức độ dài EF**:
- Để tìm độ dài \( EF \), trước tiên cần xác định vị trí của các điểm \( E \) và \( F \).
- Khi \( M \) di chuyển dọc theo \( AB \), ta sẽ thấy rằng \( E \) và \( F \) sẽ di chuyển theo một quy luật nhất định trong tam giác.
- Sử dụng định lý Pitago cho \( \triangle CEF \), ta có thể tính độ dài \( EF \) theo tọa độ của điểm \( M \).

3. **Tối thiểu hóa độ dài EF**:
- Thực tế, để độ dài \( EF \) nhỏ nhất, phương pháp hiệu quả nhất là sử dụng tính chất đối xứng. Bởi vì hình thang \( MEFD \) có hình dạng đối xứng qua điểm D, điều đó cho thấy khi M là gần D, độ dài EF sẽ ngắn nhất.
- Do đó, phương pháp tốt nhất là cho điểm \( M \) nằm tại điểm trung điểm của \( AB \) tức là \( M = D \).

Vậy, điểm \( M \) cần thiết để có độ dài \( EF \) ngắn nhất là điểm giữa cạnh \( AB \), tức là \( M \) nằm tại \( D \).