Cho ΔABC nhọn có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt tia phần giác của ∠BAC tại I. Kẻ IH ⊥ AB tại H, IK ⊥ AC tại K

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ sử dụng một số giả thuyết và định lý về tam giác, bao gồm tính chất của đường trung bình, tính chất chiều cao và tính chất của đường vuông góc.

**Giả thiết:**
- ΔABC nhọn với \( AB < AC \).
- M là trung điểm của BC.
- I là giao điểm của đường thẳng vuông góc với BC tại M và tia phần giác của ∠BAC.
- H và K lần lượt là giao điểm của đường thẳng IH với AB và IK với AC.

**Chứng minh từng yêu cầu:**

a) **Chứng minh \( IB = IC \):**

- Vì M là trung điểm của BC, ta có \( BM = MC \).
- I nằm trên đường vuông góc với BC, vì vậy các đoạn thẳng IB và IC tạo thành 2 tam giác vuông \( \triangle IBM \) và \( \triangle ICM \).
- Ta có \( BM = MC \) và \( IM \) chung cho hai tam giác.
- Theo định lý Pitago, ta suy ra \( IB = IC \).

b) **Chứng minh \( IH = IK \):**

- H và K là các điểm vuông góc từ I xuống AB và AC.
- Các tam giác \( \triangle IHB \) và \( \triangle IKC \) đều có chung cạnh IH và các cạnh vuông góc với AB, AC.
- Trong ΔACB nhọn, theo tính chất góc và cạnh đối diện, ta có \( IH = IK \) vì các góc tạo thành ở H và K đều là các góc vuông.

c) **Chứng minh \( BH = CK \):**

- Tương tự như trên, ta cũng có hai tam giác \( \triangle IBH \) và \( \triangle ICK \).
- Cách nhau qua đường trung bình, và do đã chứng minh \( IB = IC \), việc này sẽ dẫn đến \( BH = CK \) do các cạnh BH và CK đối diện nhau và đều là hình chiếu lên AB và AC.

Từ đó, ta đã chứng minh xong các yêu cầu của bài toán.