Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x^2 + 3x + 2

Để phân tích đa thức \(4x^2 + 3x + 24x^2 + 3x + 2\) thành nhân tử, trước hết chúng ta sẽ gộp các hạng tử giống nhau lại với nhau.

Bước 1: Gộp hạng tử

\[
4x^2 + 24x^2 + 3x + 3x + 2 = (4x^2 + 24x^2) + (3x + 3x) + 2 = 28x^2 + 6x + 2
\]

Bước 2: Tìm ước số chung lớn nhất (ƯSCGN)

Chúng ta có thể thấy rằng tất cả các hạng tử trong đa thức này đều có thể chia cho 2.

\[
28x^2 + 6x + 2 = 2(14x^2 + 3x + 1)
\]

Bước 3: Phân tích tiếp đa thức \(14x^2 + 3x + 1\)

Chúng ta sẽ thử nghiệm phương pháp phân tích bằng cách tìm hai số mà tích của chúng bằng \(14 \cdot 1 = 14\) và tổng của chúng bằng 3. Hai số đó không tồn tại, vì vậy chúng ta sẽ dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
ax^2 + bx + c = 0 \quad \text{với} \quad a = 14, \, b = 3, \, c = 1
\]

Áp dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Tính \(\Delta\):

\[
\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 14 \cdot 1 = 9 - 56 = -47
\]

Vì \(\Delta < 0\), nên đa thức \(14x^2 + 3x + 1\) không có nghiệm thực, tức là không thể phân tích thành nhân tử với các hệ số thực.

Vậy đa thức đã được phân tích đến mức tối đa là:

\[
4x^2 + 3x + 24x^2 + 3x + 2 = 2(14x^2 + 3x + 1)
\]

Do đó, kết quả cuối cùng là:

\[
2(14x^2 + 3x + 1)
\]