Để chứng minh tứ giác XYZT là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng:

1. \(X\) và \(Z\) là hai điểm đối xứng với nhau qua trung điểm của \(AC\).
2. \(Y\) và \(T\) là hai điểm đối xứng với nhau qua trung điểm của \(BD\).

**Bước 1: Tính toán tọa độ các điểm.**

Giả sử các điểm có tọa độ như sau:
- \(A(x_1, y_1)\)
- \(B(x_2, y_2)\)
- \(C(x_3, y_3)\)
- \(D(x_4, y_4)\)
- \(M(x_M, y_M)\)

Trung điểm của các cạnh lần lượt là:
- \(E\) (trung điểm của \(AB\)): \(\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
- \(F\) (trung điểm của \(BC\)): \(\left(\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2}\right)\)
- \(G\) (trung điểm của \(CD\)): \(\left(\frac{x_3+x_4}{2}, \frac{y_3+y_4}{2}\right)\)
- \(H\) (trung điểm của \(DA\)): \(\left(\frac{x_4+x_1}{2}, \frac{y_4+y_1}{2}\right)\)

**Bước 2: Tọa độ các điểm \(X, Y, Z, T\)**

- Điểm \(X\) đối xứng với \(M\) qua \(E\):
\[
X = E + (E - M) = \left(\frac{x_1+x_2}{2} + \left(\frac{x_1+x_2}{2} - x_M\right), \frac{y_1+y_2}{2} + \left(\frac{y_1+y_2}{2} - y_M\right)\right)
\]
Từ công thức, ta có:
\[
X = \left(x_1 + x_2 - x_M, y_1 + y_2 - y_M\right)
\]

- Điểm \(Y\), \(Z\), và \(T\) làm tương tự.

**Bước 3: Chứng minh \(XZ\) song song và bằng với \(YT\)**

Ta xét vectơ chuyển vị:
- Vectơ \(XZ\):
\[
XZ = Z - X = \left(\text{tọa độ của } Z - \text{tọa độ của } X\right)
\]
- Vectơ \(YT\):
\[
YT = T - Y = \left(\text{tọa độ của } T - \text{tọa độ của } Y\right)
\]

**Kết luận:**

Nếu \(XZ = YT\) và \(XY\) song song với \(ZT\) (do tính đối xứng và cách chọn điểm), ta có thể kết luận rằng tứ giác \(XYZT\) là hình bình hành.

Như vậy, ta đã chứng minh được tứ giác \(XYZT\) là hình bình hành.