Để tính tổng \( P = 1 \times 99 + 3 \times 97 + 5 \times 95 + \ldots + 49 \times 51 \), chúng ta có thể phát hiện ra một quy luật trong các hạng tử của tổng này.

Trong biểu thức, ta nhận thấy rằng các hệ số ở phía trước (1, 3, 5, ..., 49) là các số lẻ bắt đầu từ 1 đến 49 và có thể viết dưới dạng \( 2k-1 \) với \( k = 1, 2, 3, \ldots, 25 \) (tức là từ \( k = 1 \) đến \( k = 25 \)).

Ở phía sau, các số lần lượt là 99, 97, 95, ..., 51, và ta có thể biểu diễn chúng bằng công thức tổng quát như sau:

- Số thứ \( k \) trong dãy này là \( 100 - 2k \).

Tổng hợp lại, ta có:

\[
P = \sum_{k=1}^{25} (2k-1)(100 - 2k)
\]

Bây giờ, ta sẽ triển khai biểu thức trong dấu tổng:

\[
= \sum_{k=1}^{25} \left( (2k - 1) \times 100 - (2k - 1) \times 2k \right)
= \sum_{k=1}^{25} (200k - 100 - 4k^2 + 2k)
= \sum_{k=1}^{25} (202k - 100 - 4k^2)
\]

Chia các hạng tử ra thành các tổng riêng biệt:

\[
= \sum_{k=1}^{25} 202k - \sum_{k=1}^{25} 100 - 4 \sum_{k=1}^{25} k^2
\]

1. Tính \( \sum_{k=1}^{25} k = \frac{25(25+1)}{2} = 325 \)
2. Tính \( \sum_{k=1}^{25} k^2 = \frac{25(25+1)(2 \cdot 25 + 1)}{6} = \frac{25 \cdot 26 \cdot 51}{6} = 5525 \)

Hãy đưa các giá trị này vào biểu thức tổng:

\[
\sum_{k=1}^{25} 202k = 202 \cdot 325 = 65550
\]

\[
\sum_{k=1}^{25} 100 = 2500
\]

\[
- 4 \sum_{k=1}^{25} k^2 = -4 \cdot 5525 = -22100
\]

Cuối cùng, thay vào và tính \( P \):

\[
P = 65550 - 2500 - 22100 = 40950
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:

\[
\boxed{40950}
\]