Để tìm giá trị của \( m \) sao cho hàm số \( y = 2x^3 - 3(m + 1)x^2 + 6mx \) có cực tiểu tại \( x = 2 \), ta cần tính đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hàm số này.

### Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất

Tính \( y' \):

\[
y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3(m + 1)x^2 + 6mx) = 6x^2 - 6(m + 1)x + 6m
\]

### Bước 2: Xét điều kiện cực trị tại \( x = 2 \)

Đặt \( y'(2) = 0 \):

\[
y'(2) = 6(2)^2 - 6(m + 1)(2) + 6m = 0
\]

Giải phương trình này:

\[
6 \cdot 4 - 12(m + 1) + 6m = 0
\]
\[
24 - 12m - 12 + 6m = 0
\]
\[
12 - 6m = 0 \implies m = 2
\]

### Bước 3: Kiểm tra điều kiện cực tiểu

Tính đạo hàm bậc hai \( y'' \):

\[
y'' = \frac{d}{dx}(6x^2 - 6(m + 1)x + 6m) = 12x - 6(m + 1)
\]

Đặt \( x = 2 \):

\[
y''(2) = 12(2) - 6(m + 1) = 24 - 6(m + 1) = 24 - 6m - 6
\]
\[
= 18 - 6m
\]

Để hàm số có cực tiểu tại \( x = 2 \), ta cần \( y''(2) > 0 \):

\[
18 - 6m > 0 \implies 6m < 18 \implies m < 3
\]

### Kết luận

Từ các tính toán trên, ta có:

- \( m = 2 \) là giá trị cần tìm.
- \( m < 3 \) là điều kiện cần có để đảm bảo cực tiểu tại \( x = 2 \).

Vậy giá trị \( m \) thỏa mãn là \( m = 2 \).