Để giải bài toán về thửa ruộng hình chữ nhật, ta có những thông tin như sau:

1. Chiều dài của thửa ruộng: \( L = 2 \) m.
2. Chiều rộng của thửa ruộng: \( W = \frac{1}{2} \times L = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \) m.

### **a. Tính chiều rộng và diện tích của thửa ruộng**
- Chiều rộng \( W = 1 \) m.
- Diện tích \( S = L \times W = 2 \times 1 = 2 \) m².

### **b. Tính diện tích mới khi thay đổi chiều dài và chiều rộng**
- Giả sử giảm chiều dài đi \( x \) m và tăng chiều rộng thêm \( x \) m, thì chiều dài và chiều rộng mới là:
- Chiều dài mới: \( L' = 2 - x \)
- Chiều rộng mới: \( W' = 1 + x \)
- Diện tích mới sẽ là:
\[
S' = L' \times W' = (2 - x)(1 + x) = 2 - x + 2x - x^2 = 2 + x - x^2.
\]

- Theo bài toán, nếu diện tích thửa ruộng tăng thêm 16 m², ta có:
\[
S' = S + 16 \Rightarrow 2 + x - x^2 = 2 + 16.
\]
\[
x - x^2 = 16.
\]
**Sắp xếp lại:**
\[
-x^2 + x - 16 = 0 \Rightarrow x^2 - x + 16 = 0.
\]

- Áp dụng công thức nghiệm bậc hai:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 64}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{2}.
\]

- Để tìm x, chúng ta chỉ cần lấy nghiệm dương:
\[
x = \frac{1 + \sqrt{65}}{2}.
\]

### **c. Tìm x để diện tích thu được lớn nhất**
- Để tìm x sao cho diện tích \( S' = 2 + x - x^2 \) đạt cực đại, ta cần tính đạo hàm và giải phương trình:
\[
S' = 2 + x - x^2.
\]
- Tính đạo hàm:
\[
\frac{dS'}{dx} = 1 - 2x.
\]
- Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị:
\[
1 - 2x = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}.
\]

- Kiểm tra dấu của đạo hàm để xác định tính chất cực trị:
- Khi \( x < \frac{1}{2} \), \( \frac{dS'}{dx} > 0 \) (tăng).
- Khi \( x > \frac{1}{2} \), \( \frac{dS'}{dx} < 0 \) (giảm).
- Suy ra \( x = \frac{1}{2} \) là điểm cực đại.

### **Kết luận**
- a. Chiều rộng là 1 m, diện tích là 2 m².
- b. Diện tích mới khi thay đổi là \( S' = 2 + x - x^2 \). Tìm x với điều kiện diện tích tăng 16 m² dẫn đến \( x = \frac{1 + \sqrt{65}}{2} \).
- c. Để diện tích thửa ruộng lớn nhất, \( x = \frac{1}{2} \).