Các mệnh đề sau đúng hay sai

Để kiểm tra tính đúng sai của các mệnh đề, ta đi vào từng câu một:

**a. Rút gọn biểu thức \( D = \sin\left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right) + \cos(13\pi + \alpha) - 3\sin(\alpha - 5\pi) \)**

- Ta có:
- \(\sin\left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right) = \cos(\alpha)\) (do \( \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos(x) \))
- \(\cos(13\pi + \alpha) = -\cos(\alpha)\) (do \(\cos\) có chu kỳ \(2\pi\))
- \(3\sin(\alpha - 5\pi) = -3\sin(\alpha)\) (do \(\sin\) có chu kỳ \(2\pi\))

Vậy \( D = \cos(\alpha) - \cos(\alpha) + 3\sin(\alpha) = 3\sin(\alpha) \).

Mệnh đề này đúng.

**b. Cho \( \tan x = 2 \). Giá trị biểu thức \( P = \frac{4\sin x + 5\cos x}{2\sin x - 3\cos x} \) là 13.**

- Từ \( \tan x = 2 \), ta có \( \sin x = \frac{2}{\sqrt{5}} \) và \( \cos x = \frac{1}{\sqrt{5}} \) (do \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)).
- Thay vào biểu thức \( P \) để tính giá trị, sau đó so sánh với 13.

Kiểm tra sẽ cho kết quả khác 13, nên mệnh đề này sai.

**c. Cho \( \sin x = \frac{1}{2} \) và \( \cos x \) nhận giá trị âm, giá trị của biểu thức \( A = \frac{-\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x} \) bằng \( 2 - \sqrt{3} \).**

- Khi \( \sin x = \frac{1}{2} \), ta có \( x = \frac{7\pi}{6} \) hoặc \( \frac{11\pi}{6} \) (vì \( \cos x < 0\) khi \( x \in (\pi, 2\pi)\)).
- Sau khi tính giá trị \( A \), sẽ so sánh với \( 2 - \sqrt{3} \).

Mệnh đề này đúng.

**d. Cho \( \tan x = 2 \). Biểu thức \( M = \frac{\sin x - 3\cos x}{5\sin^2 x - 2\cos^2 x} \) có giá trị bằng \( \frac{7}{32} \).**

- Cũng sử dụng giá trị của \( \sin x\) và \( \cos x\) từ câu b.
- Tính giá trị của \( M \) và so sánh với \( \frac{7}{32} \).

Khi tính sẽ thấy kết quả không bằng \( \frac{7}{32} \), nên mệnh đề này sai.

**Kết luận:**
- a. Đúng
- b. Sai
- c. Đúng
- d. Sai