Cho phương trình lượng giác sau. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Để giải bài toán này, ta cần phân tích phương trình lượng giác và các mệnh đề.

**Phương trình:**
\[
\sin\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}
\]
Giá trị \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) có hai giá trị tương ứng khi \(\sin\) đạt giá trị này:
\[
3x + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad 3x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Giải từng trường hợp:

1. Từ \(\frac{4\pi}{3}\):
\[
3x = \frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \pi + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3}
\]

2. Từ \(\frac{5\pi}{3}\):
\[
3x = \frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{4\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}
\]

### Phân tích các mệnh đề:

a. **Phương trình có nghiệm:**
Nghiệm là:
\[
x = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3}
\]
và
\[
x = \frac{4\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}
\]
Vì vậy, mệnh đề a là **Đúng.**

b. **Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng \(-\frac{2\pi}{9}\):**
Nghiệm âm lớn nhất có thể được tính từ nghiệm đã tìm. Ta có thể kiểm tra nghiệm âm bằng cách thay giá trị cho \(k\):

- Khi \(k = -1\), ta sẽ tìm nghiệm:
- Với \(x = \frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}\) (lớn hơn \(-\frac{2\pi}{9}\))
- Với \(x = \frac{4\pi}{9} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{2\pi}{9}\) (bằng \(-\frac{2\pi}{9}\))

Mệnh đề b là **Đúng.**

c. **Trên khoảng \((0, \frac{\pi}{2})\), phương trình đã cho có 3 nghiệm:**
Trong khoảng này, nghiệm của phương trình là:
\[
x = \frac{\pi}{3} \quad (\approx 1.047)
\]
và
\[
x = \frac{4\pi}{9} \quad (\approx 1.396)
\]
Nghiệm ở trên không nằm trong khoảng \((0, \frac{\pi}{2})\), do đó, mệnh đề c là **Sai.**

d. **Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \((0, \frac{\pi}{2})\) bằng \(\frac{7\pi}{9}\):**
Ta tính tổng các nghiệm tìm được. Như đã chỉ ra, chỉ có hai nghiệm và cả hai đều không nằm trong \((0, \frac{\pi}{2})\). Nên mệnh đề d là **Sai.**

### Kết luận:

- a: **Đúng**
- b: **Đúng**
- c: **Sai**
- d: **Sai**