Cho ΔABC nội tiếp đường tròn đường kính BC(AB < AC), D là 1 điểm thuộc đoạn OC.Đường thẳng đi qua D vuông góc với BC cắt AC tại E và cắt tiếp tuyến tại K của (O) tại F. BE cắt(O) tại K. Chứng minh FK là tiếp tuyến của (O)

Để chứng minh rằng \( FK \) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) trong bài toán đã cho, ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Vận dụng tính chất tiếp tuyến**: Để chứng minh \( FK \) là tiếp tuyến, ta cần chỉ ra rằng \( FK \) vuông góc với bán kính \( OK \) tại điểm \( K \).

2. **Lập cách giải**:
- Gọi \( O \) là tâm của đường tròn \((O)\) và \( BC \) là đường kính của đường tròn này.
- Vì \( D \) nằm trên đoạn \( OC \) và \( DE \perp BC \), suy ra rằng \( DE \) là đường thẳng đi qua \( D \) vuông góc với \( BC \).

3. **Xem xét các điểm**:
- Gọi \( E \) là điểm cắt của đường thẳng \( DE \) với cạnh \( AC \).
- Khi \( DE \) cắt \( AC \) tại \( E \), từ \( D \) ta có đường thẳng \( DE \) nối với \( E \) và kéo dài là đường thẳng đi qua \( D \) vuông góc với \( BC \).

4. **Chứng minh rằng \( K \) thuộc \( FK \)**:
- Gọi \( K \) là giao điểm của \( BE \) với đường tròn \((O)\).
- Theo tính chất của đường kính, ta biết rằng tam giác \( ABC \) vuông tại \( B \). Do đó, góc \( BKC = 90^\circ \) vì \( K \) thuộc đường tròn đường kính \( BC \).

5. **Chứng minh:**
- Vì \( DK \perp BC \), và \( OK \perp BC \) (vì \( O \) là trung điểm của \( BC \)), ta có hai đường thẳng \( DK \) và \( OK \) đều vuông góc vào cùng một đường thẳng \( BC \).
- Do đó, từ đó suy ra rằng \( DK \parallel OF \) (đường thẳng tiếp tuyến tại điểm \( K \)), tức là \( FK \) sẽ vuông góc với \( OK \).

6. **Kết luận**:
- Vì \( FK \) vuông góc với \( OK \), điều này chứng tỏ rằng \( FK \) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) tại điểm \( K \).

Vậy chúng ta đã chứng minh thành công rằng \( FK \) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) ở điểm \( K \).