Để tính tổng \( S = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^n \), ta có thể sử dụng công thức cho tổng của một cấp số nhân.

Cấp số nhân có công thức tổng là:

\[
S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]

Trong đó:
- \( a \) là số hạng đầu (ở đây là \( 2 \)),
- \( r \) là tỷ số (ở đây là \( 2 \)),
- \( n \) là số hạng cuối (ở đây là \( n \)).

Áp dụng vào phép tính của chúng ta:

\[
S = 2 \cdot \frac{1 - 2^n}{1 - 2} = 2 \cdot \frac{1 - 2^n}{-1} = 2 \cdot (2^n - 1) = 2^{n+1} - 2
\]

Vậy, tổng \( S \) có thể viết gọn lại là:

\[
S = 2^{n+1} - 2
\]