Để chứng minh rằng \( BC \) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \( AD \), chúng ta sẽ cần sử dụng một số tính chất hình học.

1. **Đường tròn đường kính**: Đường tròn có đường kính \( AD \) sẽ có tâm nằm tại trung điểm của \( AD \) (gọi là \( O \)), và bán kính bằng nửa độ dài của \( AD \).

2. **Tính chất góc**: Theo định lý hấp dẫn, một góc ở ngoài đường tròn được tạo bởi hai tia cắt nhau sẽ bằng một nửa tổng các góc ở hai đỉnh đối diện trên đường tròn.

3. **Xét tam giác \( BMC \)**: Ta có \( M \) là trung điểm của \( AD \). Việc \( \angle BMC = 90^\circ \) cho thấy rằng \( BM \) là đường phân giác của góc \( BMC \).

4. **Chứng minh BC là tiếp tuyến**:
- Đường thẳng \( BC \) cắt đường tròn tại điểm tiếp xúc.
- Theo định nghĩa, nếu \( BC \) là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \( P \) thuộc đường tròn thì \( BP \) vuông góc với bán kính tại \( P \).
- Nếu \( M \) là trung điểm của \( AD \), và \( O \) là tâm của đường tròn, ta có \( OM \) vuông góc với \( AD \) và vì vậy \( OM \) cũng vuông góc với \( BC \) tại điểm \( P \).

Do đó, khi \( \angle BMC = 90^\circ \), nó chỉ ra rằng \( B \) nằm trên đường tròn, và từ đó ta có thể kết luận rằng \( BC \) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \( AD \) tại điểm \( C \).

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( BC \) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \( AD \).