Để tính tổng \( S = 2^3 + 2^5 + 2^7 + \ldots + 2^{91} \), trước tiên ta nhận thấy rằng dãy số này là một cấp số nhân với số hạng đầu là \( 2^3 \) và có công bội \( 2^2 \) (bởi vì mỗi số hạng tiếp theo tăng lên 2 lũy thừa).

Số hạng cuối cùng là \( 2^{91} \). Để xác định số lượng số hạng, ta viết tổng này dưới dạng số hạng chung:

Số hạng thứ \( n \) là \( 2^{2n + 1} \). Đặt \( 2n + 1 = 91 \) để tìm \( n \):

\[
2n = 90 \implies n = 45
\]

Vậy số hạng đầu tiên là \( n = 1 \) và số hạng cuối là \( n = 45 \), tức là có tổng cộng \( 45 \) số hạng.

Công thức tổng của cấp số nhân là:

\[
S = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

Trong đó:
- \( a = 2^3 = 8 \) là số hạng đầu.
- \( r = 2^2 = 4 \) là công bội.
- \( n = 45 \) là số hạng.

Áp dụng công thức:

\[
S = 8 \cdot \frac{4^{45} - 1}{4 - 1}
\]

Tính giá trị:

\[
S = 8 \cdot \frac{4^{45} - 1}{3}
\]

Từ đó, ta có:

\[
S = \frac{8}{3} \cdot (4^{45} - 1)
\]

Cuối cùng, ta có kết quả:

\[
S = \frac{8(4^{45} - 1)}{3}
\]