Để giải bài toán này, ta sẽ đi lần lượt từng phần a, b, c.

### a) Chứng minh rằng tứ giác \( OOKI \) là một hình thang vuông.

Ta có hai đường tròn \( O \) và \( O' \) cắt nhau tại hai điểm \( A \) và \( B \). Đường thẳng \( d \) đi qua \( A \) và cắt đường tròn \( O \) tại \( E \) và đường tròn \( O' \) tại \( F \).

1. **Chứng minh \( OI \) vuông góc với \( EF \)**:
- \( I \) là trung điểm của đoạn \( AE \), vì vậy \( AI = IE \).
- Tam giác \( OAE \) và \( OAB \) đều có \( OA \) chung.
- Do đó, \( OB \) là đường kính của đường tròn \( O \) nên \( \angle OAE = 90^\circ \).
- Kết hợp với việc \( AI \) là trung bình của \( AE \), ta có \( OI \) vuông góc với \( EF \).

2. **Chứng minh \( OK \) vuông góc với \( EF \)**:
- Theo cách tương tự, \( K \) là trung điểm của \( AF \), vì vậy ta cũng có \( OK \perp EF \).

Vậy tứ giác \( OOKI \) có hai cặp cạnh đối diện \( OI \) và \( OK \) vuông góc với cạnh \( EF \), nên \( OOKI \) là một hình thang vuông.

### b) Chứng minh rằng \( IK = \frac{1}{2} EF \).

1. Xét đoạn \( EF \):
- Ta có \( I \) và \( K \) lần lượt là trung điểm của \( AE \) và \( AF \).
- Do đó, ta có \( AE = 2 \cdot AI \) và \( AF = 2 \cdot AK \).

2. Tính toán độ dài \( IK \):
- \( EF = AE + AF = AI + AI + AK + AK = 2(AI + AK) = 2 \cdot IK \).

Vậy \( IK = \frac{1}{2} EF \).

### c) Khi d ở vị trí nào (d vẫn qua A) thì \( OOKI \) là một hình chữ nhật?

Để tứ giác \( OOKI \) trở thành hình chữ nhật, điều kiện cần là các cạnh đối diện phải song song và bằng nhau.

- Để \( OI \) song song với \( OK \), điều kiện là góc \( OAI \) và \( OAK \) phải bằng nhau.

- Điều này xảy ra khi đường thẳng \( d \) vuông góc với \( OO' \) (đường nối hai tâm của hai hình tròn).

Vậy khi đường thẳng \( d \) vuông góc với đoạn thẳng \( OO' \), tứ giác \( OOKI \) sẽ là một hình chữ nhật.