Cho hàm số \( y = \frac{2x^2 + 2x - 1 - 5m}{x - m} \)

Để phân tích hàm số \( y = \frac{2x^2 + 2x - 1 - 5m}{x - m} \), chúng ta sẽ xem xét các phần được hỏi trong đề bài.

### a) Hàm số xác định với mọi \( x \)

Hàm số này xác định khi mẫu số khác không, tức là \( x - m \neq 0 \). Do đó, hàm số xác định với mọi \( x \) trừ \( x = m \).

### b) Có 2019 giá trị nguyên dương bé hơn 2024 của tham số \( m \)

Để có hàm số, \( m \) phải là một số nguyên. Giá trị nhỏ nhất của \( m \) là 0, và giá trị lớn nhất là 2023, vì 2024 là không được tính. Do đó, số giá trị nguyên dương mà \( m \) có thể nhận là: \( \{1, 2, ..., 2023\} \), tổng cộng là 2023 giá trị.

### c) Nếu \( m = 0 \) thì hàm số có hai cực trị

Thay \( m = 0 \) vào hàm số:

\[
y = \frac{2x^2 + 2x - 1}{x}
\]

Hàm này có thể đơn giản hóa và dễ dàng xác định được điều kiện tồn tại cực trị. Để tìm cực trị, ta xét đạo hàm của hàm này và tìm nghiệm của phương trình đạo hàm bằng 0.

### d) Nếu đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì hai điểm cực trị đó luôn nằm trên đường thẳng cố định

Để xác định điều này, cần xem xét các điểm cực trị bằng cách phân tích đạo hàm và tính giá trị của hai điểm cực trị. Nếu hai điểm cực trị thuộc về một đường thẳng, có thể thấy rằng đồ thị của hàm có tính liên tục và không đổi ở một số cách.

Tất cả các kết luận này cần được kiểm chứng kỹ càng thông qua tính toán cụ thể các giá trị và biên khảo sát cực trị.

Tóm lại:
- Phân tích hàm số chưa xác định với \( x = m \).
- \( m \) có 2023 giá trị nguyên dương nhỏ hơn 2024.
- Với \( m = 0 \), hàm số có thể có hai cực trị.
- Hai cực trị có thể thuộc về một đường thẳng cố định nhưng cần kiểm chứng.