Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất cơ bản của hình học.

1. Gọi \( O \) là tâm của đường tròn (OR) với đường kính \( AB \). Khi đó, \( OA = OB = R \) (bán kính đường tròn).
2. Điểm \( C \) nằm trên đường tròn sao cho \( AC = R \).
3. Ta cần tìm số đo của góc \( \angle BAC \).

Theo định lý Thales, khi có một tam giác mà một cạnh được nối với hai điểm trên đường tròn với đường kính là cạnh còn lại thì góc đối diện với cạnh đó là một góc vuông.

Vì vậy, trong tam giác \( OAC \) và \( OBC \):

- Góc \( \angle OAC \) là góc tại đỉnh \( A \) và \( O \) nằm trên cạnh \( AB \), do đó \( \angle OAC = 90^\circ - \frac{1}{2}\angle BAC \).

Dễ dàng nhận thấy điều này cho ta một mối tương quan giữa góc \( BAC \) và góc \( OAC \).

Vì \( AC = R \) nên hình thành tam giác \( AOC \) với \( OA = OC = R \). Do đó tam giác \( AOC \) là tam giác đều, suy ra:

\[ \angle AOC = 60^\circ \]

Mà \( \angle AOB \) cũng là một góc vuông (tương ứng với đường kính).

Vậy ta có:

\[
\angle BAC = 30^\circ
\]

Do đó, số đo góc \( BAC \) là \( 30^\circ \).