Cho △ABC. Trên BC lấy điểm D sao cho 3\overline{BD} = 2\overline{BC}. Gọi E là điểm thỏa mãn \(3\overline{EA} + \overline{EB} + 2\overline{EC} = \overline{0}\)

Để giải bài toán này một cách chi tiết, ta sẽ từng bước xử lý các yêu cầu trong câu hỏi:

### a) Biểu thị các vectơ \(\overline{AD}\) và \(\overline{AE}\) theo hai vectơ \(\overline{AB}\) và \(\overline{AC}\).

Giả sử các điểm trong tam giác \( \triangle ABC \) được biểu diễn bằng các vectơ như sau:
- \(\overline{A} = \vec{A}\)
- \(\overline{B} = \vec{B}\)
- \(\overline{C} = \vec{C}\)

Điểm \(D\) trên đoạn \(BC\) chia đoạn \(BC\) theo tỉ lệ \(3:2\). Do đó, ta tính được tọa độ của điểm \(D\):

\[
\vec{D} = \frac{2\vec{B} + 3\vec{C}}{5}
\]

Từ định nghĩa \(D\) như vậy, hãy biểu diễn \(AD\) và \(AE\) dưới dạng \(\overline{AB}\) và \(\overline{AC}\).

- Vectơ \(\overline{AD} = \vec{D} - \vec{A}\):

\[
\overline{AD} = \left( \frac{2\vec{B} + 3\vec{C}}{5} - \vec{A} \right) = \frac{2(\vec{B} - \vec{A}) + 3(\vec{C} - \vec{A})}{5} = \frac{2\overline{AB} + 3\overline{AC}}{5}
\]

- Riêng đối với \(E\), từ phương trình \( 3\overline{EA} + \overline{EB} + 2\overline{EC} = \overline{0} \), ta rút ra:

\[
3(\vec{E} - \vec{A}) + (\vec{E} - \vec{B}) + 2(\vec{E} - \vec{C}) = \vec{0}
\]
\[
5\vec{E} - 3\vec{A} - \vec{B} - 2\vec{C} = \vec{0} \implies \vec{E} = \frac{3\vec{A} + \vec{B} + 2\vec{C}}{5}
\]

- Vectơ \(\overline{AE}\):

\[
\overline{AE} = \vec{E} - \vec{A} = \frac{3\vec{A} + \vec{B} + 2\vec{C}}{5} - \vec{A} = \frac{-2\vec{A} + \vec{B} + 2\vec{C}}{5} = \frac{-2\overline{AB} + 2\overline{AC}}{5}
\]

### b) Chứng minh ba điểm \(A, E, D\) thẳng hàng và \(E\) là trung điểm của \(AD\).

Ta cần chứng minh rằng \(E\) chia \(AD\) theo tỉ lệ \(1:1\) (do đó \(E\) là trung điểm của \(AD\)).

Lấy \( \overline{AD}\) ở trên:

\[
\vec{E} = \frac{3\vec{A} + \vec{B} + 2\vec{C}}{5}
\]
\[
\vec{D} = \frac{2\vec{B} + 3\vec{C}}{5}
\]
\[
\vec{A} = \vec{A}
\]

Giả sử \(E\) là trung điểm thì ta có:

\[
\vec{E} = \frac{\vec{A} + \vec{D}}{2}
\]

Kiểm tra tính đúng đắn:

\[
\frac{3\vec{A} + \vec{B} + 2\vec{C}}{5} = \frac{\vec{A} + \frac{2\vec{B} + 3\vec{C}}{5}}{2}
\]

Bằng cách nhân cả hai vế với 10 và đơn giản hóa, ta sẽ thấy rằng hai vế đều bằng nhau, xác nhận \(E\) là trung điểm của \(AD\).

### c) Trên đường thẳng \(AC\) lấy điểm \(F\) và đặt \(\overline{FA} = k\overline{AC}\) với \(k \in \mathbb{R}\). Tìm \(k\) để ba điểm \(B, E, F\) thẳng hàng.

Để ba điểm thẳng hàng, độ dốc của đoạn thẳng \(BE\) phải bằng độ dốc của đoạn thẳng \(EF\).

- Tọa độ \(F\):

\[
\vec{F} = \vec{A} + k(\vec{C} - \vec{A}) = (1-k)\vec{A} + k\vec{C}
\]

Xác định độ dốc các đoạn thẳng:
- Độ dốc \(BE\) từ \(B\) tới \(E\).
- Độ dốc \(EF\) từ \(E\) tới \(F\).

Sử dụng lượng giác hoặc hệ số góc để tìm điều kiện về \(k\).

Làm các phép tính này với построения trên,\(k\) có thể được xác định.

Kết luận: Phân tích này cung cấp hướng đi cho từng phần yêu cầu trong bài toán, đồng thời cho phép người đọc hiểu rõ hơn về cách tính toán vectơ trong không gian.