Để giải phương trình \( \frac{x}{x-2} = \frac{1}{x+1} + 1 \), ta sẽ tiến hành các bước sau:

Bước 1: Đưa tất cả các hạng tử về một phía:
\[
\frac{x}{x-2} - \left(\frac{1}{x+1} + 1\right) = 0
\]

Bước 2: Đưa hạng tử \( 1 \) về dạng phân số:
\[
1 = \frac{x+1}{x+1} = \frac{x+1}{x+1}
\]
Vậy phương trình trở thành:
\[
\frac{x}{x-2} - \frac{1}{x+1} - \frac{x+1}{x+1} = 0
\]

Bước 3: Tìm mẫu chung và cộng các phân số lại:
Mẫu chung sẽ là \((x-2)(x+1)\). Ta sẽ viết lại các hạng tử theo mẫu chung:
\[
\frac{x(x+1) - (x-2) - (x+1)(x-2)}{(x-2)(x+1)} = 0
\]

Bước 4: Giải tử số:
Tử số sẽ là:
\[
x(x+1) - (x-2) - (x+1)(x-2)
\]

Tính từng hạng tử:
1. \( x(x+1) = x^2 + x \)
2. \( (x+1)(x-2) = x^2 - 2x + x - 2 = x^2 - x - 2 \)

Vậy:
\[
x^2 + x - (x - 2) - (x^2 - x - 2) = x^2 + x - x + 2 - x^2 + x + 2
\]
\[
= 2x + 4
\]

Bước 5: Đặt tử số bằng 0:
\[
2x + 4 = 0 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2
\]

Bước 6: Kiểm tra xem \( x = -2 \) có thoả mãn điều kiện không:
- Kiểm tra điều kiện dưới mẫu:
\[
x - 2 \neq 0 \Rightarrow -2 - 2 = -4 \neq 0
\]
\[
x + 1 \neq 0 \Rightarrow -2 + 1 = -1 \neq 0
\]

Điều kiện trên đều thoả mãn.

Vậy nghiệm của phương trình là:
\[
\boxed{-2}
\]