2999 - 1998 chia hết cho 2 và 5

Để kiểm tra xem \( 2999^{2013} - 1998^{2012} - 1003^{2013} \) có chia hết cho 2 và 5 hay không, ta sẽ xem xét từng phần của biểu thức.

1. **Chia hết cho 2**:
- \( 2999 \) là một số lẻ, lũy thừa của một số lẻ vẫn là số lẻ, nên \( 2999^{2013} \) là số lẻ.
- \( 1998 \) là một số chẵn, lũy thừa của một số chẵn vẫn là số chẵn, nên \( 1998^{2012} \) là số chẵn.
- \( 1003 \) là một số lẻ, lũy thừa của một số lẻ vẫn là số lẻ, nên \( 1003^{2013} \) là số lẻ.

Khi cộng hoặc trừ một số lẻ và một số chẵn, kết quả sẽ là số lẻ. Trong trường hợp này, ta có:
- \( 2999^{2013} \) (lẻ) - \( 1998^{2012} \) (chẵn) = số lẻ.
- \( số lẻ - 1003^{2013} \) (lẻ) = số chẵn.

Kết luận: \( 2999^{2013} - 1998^{2012} - 1003^{2013} \) là số chẵn, chia hết cho 2.

2. **Chia hết cho 5**:
- \( 2999 \mod 5 = 4 \) nên \( 2999^{2013} \mod 5 = 4^{2013} \mod 5 \).
- \( 1998 \mod 5 = 3 \) nên \( 1998^{2012} \mod 5 = 3^{2012} \mod 5 \).
- \( 1003 \mod 5 = 3 \) nên \( 1003^{2013} \mod 5 = 3^{2013} \mod 5 \).

Theo định lý Fermat, \( a^p \equiv a \mod p \) với \( p \) là số nguyên tố, do đó:
- \( 4^1 \equiv 4 \mod 5 \) và \( 4^2 \equiv 1 \mod 5 \), nên \( 4^{2013} \equiv 4 \mod 5 \).
- \( 3^1 \equiv 3 \mod 5 \) và \( 3^2 \equiv 4 \mod 5 \), \( 3^3 \equiv 2 \mod 5 \), \( 3^4 \equiv 1 \mod 5 \), và tiếp tục tuần hoàn theo chu kỳ 4. Với \( 2012 \mod 4 = 0 \), nên \( 3^{2012} \equiv 1 \mod 5 \).
- Đối với \( 3^{2013} \mod 5\), ta có \( 2013 \mod 4 = 1 \) nên \( 3^{2013} \equiv 3 \mod 5 \).

Tính toán cuối cùng:
\[ 2999^{2013} - 1998^{2012} - 1003^{2013} \mod 5 \]
\[ \equiv 4 - 1 - 3 \equiv 0 \mod 5 \]

Kết luận: \( 2999^{2013} - 1998^{2012} - 1003^{2013} \) cũng chia hết cho 5.

Vậy biểu thức này chia hết cho cả 2 và 5.