Để chứng minh bất đẳng thức \( BC < AB + AC < 2BC \) khi điểm \( A \) nằm trên đường tròn có đường kính \( BC \), ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

1. **Chứng minh \( BC < AB + AC \)**:
- Theo định lý tam giác, trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại. Xét tam giác \( ABC \):
\[
AB + AC > BC
\]
- Do đó, ta có được bất đẳng thức đầu tiên:
\[
BC < AB + AC
\]

2. **Chứng minh \( AB + AC < 2BC \)**:
- Gọi \( O \) là trung điểm của \( BC \). Khi đó, \( OB = OC = \frac{BC}{2} \).
- Theo định lý Pitago, trong tam giác vuông \( OAB \) và \( OAC \) (do \( A \) thuộc đường tròn, \( OA \) là bán kính), ta có:
\[
AB^2 = OA^2 + OB^2
\]
\[
AC^2 = OA^2 + OC^2
\]
- Từ đó, ta có:
\[
AB < OA + OB = OA + \frac{BC}{2}
\]
\[
AC < OA + OC = OA + \frac{BC}{2}
\]
- Cộng hai bất đẳng thức trên:
\[
AB + AC < 2OA + BC
\]
- Vì \( OA \) là bán kính lớn hơn \( \frac{BC}{2} \) (do \( A \) nằm trên đường tròn):
\[
AB + AC < 2 \cdot \frac{BC}{2} + BC = 2BC
\]

Tổng hợp lại, chúng ta có:
\[
BC < AB + AC < 2BC
\]

Vậy là ta đã chứng minh xong bất đẳng thức bài toán yêu cầu.