Cho tứ giác lồi ABCD có \( \angle BAC = \angle BDC = 90^\circ \), chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn và \( AD < BC \)

Để chứng minh bốn điểm \( A, B, C, D \) cùng thuộc một đường tròn, ta sử dụng định lý về góc nội tiếp trong hình tròn.

### Chứng minh:

1. **Góc nội tiếp**: Ta có hai góc:
- \( \angle BAC = 90^\circ \)
- \( \angle BDC = 90^\circ \)

Theo định lý về góc nội tiếp, nếu hai góc này đều bằng \( 90^\circ \), thì điểm \( A \) và điểm \( D \) sẽ nằm trên cùng một đường tròn với đường kính là đoạn \( BC \). Tức là, \( AC \) và \( BD \) là các đường kính của đường tròn.

2. **Xác định vị trí**: Ta cũng có thể thấy rằng \( AB \) vuông góc với \( AC \) tại \( A \) và \( BD \) vuông góc với \( DC \) tại \( D \). Từ đó, ta có
\[
\angle ABC + \angle BDC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ
\]
Điều này chứng tỏ rằng bốn điểm \( A, B, C, D \) nằm trên cùng một đường tròn.

3. **So sánh độ dài**: Ta có thể sử dụng sự đối xứng và khoảng cách trong tam giác vuông \( ABD \) và \( BCD \):
- Gọi \( AD \) và \( BC \) lần lượt là các cạnh của hai tam giác vuông.
- Theo định lý Pitago cho \( \triangle ABD \) và \( \triangle BDC \), chúng ta thấy rằng độ dài cạnh \( BC \) sẽ lớn hơn cạnh \( AD \).

Cụ thể hơn, từ tính chất của tam giác vuông, ta có thể thấy rằng nếu \( AD < BC \) sẽ đúng vì chiều dài của cạnh huyền luôn lớn hơn chiều dài của các cạnh kề.

### Kết luận:
Ta đã chứng minh rằng bốn điểm \( A, B, C, D \) thuộc một đường tròn và có \( AD < BC \).