Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng và có tâm lấn luợt là O và O’. Gọi M, N là hai điểm trên các cạnh AE, BD sao cho \[ AM = \frac{1}{3} AE, \, BN = \frac{1}{3} BD. \

Để giải bài này, ta cần xác định các mệnh đề đã cho dựa trên hình học của hai hình bình hành ABCD và ABEF.

1. **Mệnh đề a**: **\( OO' \) song song với mặt phẳng (ADF)**.
- Nếu \( O \) và \( O' \) là trung điểm của hai hình bình hành không cùng nằm trên một mặt phẳng, thì đoạn \( OO' \) sẽ không nằm trên mặt phẳng (ADF). Mệnh đề này **đúng**.

2. **Mệnh đề b**: **\( OO' \) cắt mặt phẳng (BCE)**.
- Tương tự, vì hai hình bình hành không nằm trong cùng một mặt phẳng, nên \( OO' \) không thể cắt mặt phẳng (BCE). Mệnh đề này **sai**.

3. **Mệnh đề c**: **\( BN = \frac{2}{3} BD \)**.
- Với \( BN = \frac{1}{3} BD \), điều này mâu thuẫn với mệnh đề. Mệnh đề này **sai**.

4. **Mệnh đề d**: **\( MN \) song song với mặt phẳng (CDFE)**.
- Vì \( M \) và \( N \) nằm trên các cạnh AE và BD, đoạn \( MN \) sẽ không cắt mặt phẳng (CDFE), nên mệnh đề này có thể **đúng**.

Tóm lại:
- Mệnh đề a: **Đúng**
- Mệnh đề b: **Sai**
- Mệnh đề c: **Sai**
- Mệnh đề d: **Đúng**

Chúc bạn học tốt!