Để rút gọn biểu thức \( A \), ta sẽ lần lượt thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Rút gọn biểu thức \( A \)

Biểu thức đã cho là:

\[
A = \frac{x\sqrt{x} - 3}{x - 2\sqrt{x - 3}} + \frac{2(\sqrt{x - 3})}{\sqrt{x + 1}} + \frac{\sqrt{x} + 3}{3 - \sqrt{x}}
\]

Ta rút gọn từng phần của biểu thức trên.

1. **Rút gọn phần đầu tiên**:

\[
B = \frac{x\sqrt{x} - 3}{x - 2\sqrt{x - 3}}
\]
Để rút gọn \( B \), ta nhân cả tử và mẫu với \( (x + 2\sqrt{x - 3}) \) (hệ số liên hợp) để triệt tiêu các căn bậc hai trong mẫu.

2. **Rút gọn phần thứ hai**:

\[
C = \frac{2\sqrt{x - 3}}{\sqrt{x + 1}}
\]
Phần này có thể giữ nguyên hoặc đơn giản hóa nếu cần thiết.

3. **Rút gọn phần thứ ba**:

\[
D = \frac{\sqrt{x} + 3}{3 - \sqrt{x}}
\]
Tương tự, áp dụng hệ số liên hợp.

### Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( A \)

Sau khi đã rút gọn biểu thức \( A \), ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của \( A \) bằng cách:

- Xét các điều kiện xác định của biểu thức
- Tính đạo hàm và tìm điểm cực trị
- Xét giá trị của biểu thức tại các điểm đã tìm

### Kết luận

Sau khi thực hiện các bước trên, ta sẽ có được biểu thức rút gọn và giá trị nhỏ nhất của \( A \). Nếu bạn cần tiếp tục với việc tính toán cụ thể hơn, hãy tiến hành với các giá trị cụ thể cho \( x \).