Để chứng minh công thức \(\frac{HI}{A1} + \frac{HJ}{BJ} + \frac{HK}{CK} = 1\), ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác.

Trong tam giác nhọn ABC, diện tích của tam giác ABC có thể tính theo từng đường cao như sau:

\[
A1 = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH
\]
\[
BJ = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH
\]
\[
CK = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH
\]

Theo định nghĩa của điểm H (giao của ba đường cao), ta có:

\[
HI = AH \cdot \sin(\angle AHB)
\]
\[
HJ = BH \cdot \sin(\angle BHC)
\]
\[
HK = CH \cdot \sin(\angle AHC)
\]

Từ đó, ta có thể lập tỉ lệ giữa các đoạn thẳng và diện tích như sau:

\[
\frac{HI}{A1} = \frac{HI}{\frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH}
\]

Kết hợp lại, ta sẽ có:

\[
\frac{HI}{A1} + \frac{HJ}{BJ} + \frac{HK}{CK} = \frac{HI \cdot 2}{BC \cdot AH} + \frac{HJ \cdot 2}{AC \cdot BH} + \frac{HK \cdot 2}{AB \cdot CH} = 1
\]

### Khi góc A là góc tù

Nếu góc A của tam giác ABC là góc tù, cách tính tỉ lệ diện tích sẽ thay đổi một chút. Trong trường hợp này, độ dài của đường cao AH sẽ không nằm trong đoạn BC mà thay vào đó sẽ nằm ngoài. Điều này có nghĩa là \(HI\), \(HJ\) và \(HK\) sẽ tiếp tục tác động đến các diện tích nhưng tỉ lệ của diện tích sẽ bị tác động bởi chiều cao phía đối diện.

Kết quả cuối cùng sẽ dẫn đến một công thức tương đương nhưng nêu rõ rằng chiều cao sẽ không còn nằm trong đoạn thẳng của tam giác ABC mà có thể là chiều cao âm (ở hướng ngược lại).

Điều này dẫn đến tỉ lệ khác, vì vậy để biểu đạt mối quan hệ tương tự ta cần điều chỉnh công thức cho thích hợp trong trường hợp góc A là góc tù.