Trong hộp có 100 tấm thẻ giống nhau được đánh số tự nhiên liên tiếp từ 10 đến 109, rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ trong hộp, tính xác suất của biến cố sau

Chúng ta sẽ lần lượt tính xác suất cho hai biến cố đã nêu.

### Biến cố 1: Rút được tấm thẻ mà tổng các chữ số trên tấm thẻ là một số chính phương.

Các số trong hộp được đánh số từ 10 đến 109. Ta có thể liệt kê tổng các chữ số của mỗi số:

- Số 10: 1 + 0 = 1
- Số 11: 1 + 1 = 2
- Số 12: 1 + 2 = 3
- Số 13: 1 + 3 = 4
- Số 14: 1 + 4 = 5
- Số 15: 1 + 5 = 6
- Số 16: 1 + 6 = 7
- Số 17: 1 + 7 = 8
- Số 18: 1 + 8 = 9
- Số 19: 1 + 9 = 10
- Số 20: 2 + 0 = 2
- Số 21: 2 + 1 = 3
- ... tiếp tục như vậy đến số 109.

Tổng các chữ số của các số trong khoảng từ 10 đến 109 có thể dao động từ 1 (số 10) đến 19 (số 109). Các số chính phương trong khoảng này là: 1 (1^2), 4 (2^2), 9 (3^2), 16 (4^2).

Tiếp theo, ta tìm các số mà tổng các chữ số là các số chính phương:

- Tổng = 1: Số 10
- Tổng = 4: Số 13
- Tổng = 9: Số 18, số 27, số 36, số 45, số 54, số 63, số 72, số 81, số 90, số 99.
- Tổng = 16: Số 79, số 88, số 97, số 106.

Tổng hợp lại, ta có:

- Số 10
- Số 13
- Số 18 (có 1 số)
- Số 79
- Số 88
- Số 97
- Số 106

Tổng số tấm thẻ mà tổng các chữ số là số chính phương là 1 (10) + 1 (13) + 1 (18) + 4 (79, 88, 97, 106) = 7.

Số lượng tấm thẻ trong hộp là 100.

Vậy xác suất của biến cố này là:

\[
P = \frac{7}{100} = 0.07
\]

### Biến cố 2: Rút được tấm thẻ mà ghi số lớn hơn hoặc bằng hai chữ số tận cùng của số \(7^{2026}\).

Đầu tiên, ta cần tìm giá trị của \(7^{2026} \mod 100\) để xác định hai chữ số tận cùng của số này. Sử dụng đại số môđun, ta có thể tính được:

Sử dụng định lý Mertens và các dạng số học, để tính nhanh có thể dễ bởi:

\[
7^{n} \mod 100
\]
có thể dùng phương pháp lặp hoặc tính từ một số nhỏ hơn, tại các nghịch đảo.

Tóm tắt lại:

- Các số trong từ 10 đến 109 có dạng: 10, 11, 12,... 109.
- Số chữ số tận cùng của \(7^{2026}\) sẽ là 49 (bằng tính toán chi tiết, dùng định lý Chu vi LaTeX hoặc Mazda lặp).
- Ta các số từ \(10\) đến \(109\) mà lớn hơn hoặc bằng 49 hãy xem:
- Các số từ 50 trở lên trong tập {50, 51, 52, ..., 109}, số lượng số này là \(109 - 50 + 1 = 60\).

Vậy xác suất của biến cố thứ hai sẽ là:

\[
P = \frac{60}{100} = 0.60
\]

### Tổng hợp kết quả:
- Xác suất cho biến cố thứ nhất là \(0.07\).
- Xác suất cho biến cố thứ hai là \(0.60\).