Chứng minh định lý: "Trong một tam giác, CẠNH ĐỐI DIỆN với GÓC lớn hơn và cạnh lớn hơn"

Để chứng minh định lý "Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn", ta sẽ tiến hành như sau:

**Giả thiết:** Cho tam giác \( ABC \) có \( A, B, C \) là các đỉnh của tam giác, và \( a, b, c \) lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các góc \( A, B, C \). Giả sử \( A > B \) (tức là góc \( A \) lớn hơn góc \( B \)).

**Cần chứng minh:** \( a > b \) (tức là cạnh \( a \) đối diện với \( A \) lớn hơn cạnh \( b \) đối diện với \( B \)).

**Chứng minh:**

1. **Giả sử ngược lại**: Giả sử \( a \leq b \). Điều này có thể xảy ra theo hai trường hợp: (i) \( a = b \) hoặc (ii) \( a < b \).

2. **Xét trường hợp \( a = b \)**: Nếu \( a = b \), ta có hai cạnh \( AB \) và \( AC \) bằng nhau. Do đó, tam giác \( ABC \) sẽ là tam giác cân tại \( A \). Khi đó, góc \( A \) sẽ bằng góc \( B \) (theo tính chất của tam giác cân), từ đó suy ra \( A = B \), điều này mâu thuẫn với giả thiết là \( A > B \).

3. **Xét trường hợp \( a < b \)**: Nếu \( a < b \), ta có thể thực hiện một phép xây dựng hình học: Vẽ điểm \( D \) trên cạnh \( BC \) sao cho \( BD = a \) (vì \( a < b \), điểm \( D \) sẽ nằm trong đoạn \( BC \)). Khi đó, kết quả là tam giác \( ABD \) sẽ có:
- \( AD < AB \) (bởi vì \( a < b \) và \( AC = AB \)), và do đó, các góc đối diện sẽ thoả mãn:
- \( \angle ADB > \angle ABD \) (theo định lý Sin).

4. **Từ đây, suy ra \( \angle A > \angle B \)** bởi vì góc đối diện với cạnh lớn hơn trong tam giác là một mối quan hệ bất đẳng thức. Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu \( A > B \).

Kết luận, cả hai khả năng \( a = b \) và \( a < b \) đều dẫn đến sự mâu thuẫn với giả thiết \( A > B \).

Do đó, ta có thể kết luận rằng:
\[
\text{Nếu } A > B \text{ thì } a > b.
\]

**Vậy định lý đã được chứng minh!**