Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 + x - 3}{x - 1} \), ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Xác định miền xác định
Hàm số này có thể chưa xác định nếu mẫu số bằng 0. Ta giải phương trình:
\[ x - 1 = 0 \]
=> \( x = 1 \)

Do đó, miền xác định của hàm số là \( x \in \mathbb{R} \setminus \{1\} \).

### Bước 2: Tìm giới hạn khi \( x \) tiến đến 1
Ta tính giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến 1:
\[
\lim_{x \to 1} y = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x - 3}{x - 1}
\]
Áp dụng quy tắc L'Hôpital (vì dạng \( \frac{0}{0} \)):
\[
= \lim_{x \to 1} \frac{2x + 1}{1} = 2
\]

### Bước 3: Tìm nghiệm và nghiệm của tử số
Giải phương trình \( x^2 + x - 3 = 0 \) bằng cách sử dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}
\]
Nghiệm là:
\[
x_1 = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 - \sqrt{13}}{2}
\]

### Bước 4: Tính đạo hàm và xét tính tăng giảm
Tính đạo hàm:
\[
y' = \frac{(2x + 1)(x - 1) - (x^2 + x - 3)(1)}{(x - 1)^2}
\]
Đơn giản hóa đạo hàm và tìm nghiệm để xác định các khoảng tăng, giảm.

### Bước 5: Xác định điểm cực trị
Giải \( y' = 0 \) để tìm các điểm cực trị:
- Xét các khoảng đối với dấu của đạo hàm để xác định sự biến thiên.

### Bước 6: Vẽ đồ thị
1. Xác định các điểm mà hàm số có giá trị cực đại, cực tiểu.
2. Lấy các trị số tại các điểm đã xác định (nếu cần) để vẽ.
3. Vẽ đường asymptote đứng tại \( x = 1 \) và lấy vào giới hạn.

### Đồ thị
Đồ thị của hàm số là một đường cong có điểm không xác định tại \( x = 1 \), và có người cực trị tại các nghiệm tìm được. Đồ thị có hình dạng giống như một hyperbola với đường asymptote.

#### Lưu ý:
- Để vẽ đồ thị chính xác hơn, sử dụng các điểm cho các giá trị \( x \) xung quanh các điểm quan tâm (như nghiệm và điểm không xác định).

Hy vọng hướng dẫn này sẽ giúp bạn khảo sát được sự biến thiên của hàm số!