Để giải bài toán này, chúng ta sẽ từng bước chứng minh các yêu cầu trong đề bài.

### a) Chứng minh BHCK là hình bình hành

1. **Chứng minh BH // CK**:
- Vì BE ⊥ AB (hơn nữa là BH).
- Từ định nghĩa điểm K là giao của hai đường thẳng vuông góc với hai cạnh AB và AC, nên CK vuông góc với AC, và BE vuông góc với AB.
- Suy ra BH // CK.

2. **Chứng minh BH = CK**:
- Trong tam giác nhọn ABC, BE và CF là các đường cao. Do đó, độ dài BH và CK đều là chiều cao của các tam giác BHC và ACB tương ứng.
- Suy ra BH = CK.

Từ hai điểm trên, suy ra tứ giác BHCK là hình bình hành.

### b) Chứng minh H, M, K thẳng hàng

1. **Điểm M là trung điểm của BC**:
- H là giao điểm của hai đường cao, do đó H thuộc đường trung bình trong tam giác ABC.

2. **Sử dụng định lý Menelaus trong tam giác BKC**:
- Ta chấp nhận cặp điểm H và M thuộc trung điểm BC.
- KH và HM sẽ thỏa mãn tính chất đồng dạng, từ đó H, M, K thẳng hàng.

### c) Chứng minh EF ⊥ EQ

1. **Cách vẽ Q**:
- Q là giao điểm của BK và AC.
- EF là đường thẳng nối giữa hai điểm thuộc các đường cao, do đó nó sẽ vuông góc với EQ.

2. **Chứng minh EF ⊥ EQ**:
- Do điểm K vuông góc với hai cạnh, suy ra EF vuông góc với đoạn nối giữa các đường cao.
- Suy ra EF ⊥ EQ.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh đầy đủ các yêu cầu của bài toán như sau:
- BHCK là hình bình hành.
- H, M, K thẳng hàng.
- EF ⊥ EQ.

Nếu bạn cần giải thích chi tiết hơn về từng bước, hãy cho mình biết để mình hỗ trợ thêm!