Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần một:

### a) Chứng minh \( CM \parallel BD \) và \( AM = \frac{BD}{2} \)

**Chứng minh**:

1. **Cấu trúc hình chữ nhật**: Hình chữ nhật \( ABCD \) có các góc vuông và cạnh đối diện song song.

2. **Điểm P trên đường chéo BD**: Theo giả thiết, điểm \( P \) nằm trên đoạn chéo \( BD \). Điều này có nghĩa là điểm P chia đoạn chéo BD thành hai đoạn hợp lệ.

3. **Điểm M trên tia CP**: Với giả thiết \( P \) là trung điểm của đoạn \( CM \), suy ra \( CP = PM \).

4. **Vị trí tương đối**: Xét tam giác \( CBP \) và tam giác \( DAP \). Do \( P \) nằm trên BD, \( BP < PD \) cho nên tam giác \( CBP \) có độ dài cạnh \( BP \) nhỏ hơn cạnh \( PD \), dẫn đến rằng phương chiều của \( CM \) và \( BD \) sẽ song song vì chúng đều nằm trong các tam giác đồng dạng với nhau.

5. **Kết luận**: Ta suy ra \( CM \parallel BD \). Do đó, \( AM \) sẽ bằng một nửa của \( BD \) do tính chất trung điểm và các đoạn thẳng song song.

### b) Gọi E, F là hình chiếu của M trên AD, AB và chứng minh \( CM \parallel EF \)

**Chứng minh**:

1. **Hình chiếu**: Kẻ đường vuông góc từ M đến AD (hình chiếu E) và từ M đến AB (hình chiếu F).

2. **Tính chất đường vuông góc và song song**: Do EF là hình chiếu của đoạn thẳng CM lên các cạnh AD và AB, theo trường hợp đồng dạng của các hình trong hình chữ nhật, \( CM \) sẽ song song với \( EF \) vì cả hai đều tạo thành các góc vuông với các cạnh của hình chữ nhật.

3. **Kết luận**: Ta có \( CM \parallel EF \) theo tính chất hình chiếu.

### Tóm tắt:
- \( CM \parallel BD \) và \( AM = \frac{BD}{2} \).
- \( CM \parallel EF \).

Hy vọng phần giải thích này giúp ích cho bạn trong việc hiểu bài toán!