Tìm x, y, z biết 60x = 5y = 4z và 9x^2 - y^2 + 3z^2 = 60

Để giải bài toán này, trước tiên ta sẽ sử dụng phương trình đầu tiên: \( 60x = 5y = 4z \).

Gọi \( k = 60x = 5y = 4z \), ta có các công thức sau:

1. \( x = \frac{k}{60} \)
2. \( y = \frac{k}{5} \)
3. \( z = \frac{k}{4} \)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay \( x \), \( y \), \( z \) vào phương trình thứ hai:

\[
9x^2 - y^2 + 3z^2 = 60
\]

Thay \( x \), \( y \), \( z \) vào phương trình:

\[
9\left(\frac{k}{60}\right)^2 - \left(\frac{k}{5}\right)^2 + 3\left(\frac{k}{4}\right)^2 = 60
\]

Tính toán từng phần:

- \( 9\left(\frac{k}{60}\right)^2 = 9 \cdot \frac{k^2}{3600} = \frac{9k^2}{3600} = \frac{k^2}{400} \)
- \( \left(\frac{k}{5}\right)^2 = \frac{k^2}{25} \)
- \( 3\left(\frac{k}{4}\right)^2 = 3 \cdot \frac{k^2}{16} = \frac{3k^2}{16} \)

Bây giờ thay vào phương trình:

\[
\frac{k^2}{400} - \frac{k^2}{25} + \frac{3k^2}{16} = 60
\]

Để tính toán, chúng ta cần đưa tất cả về cùng mẫu số. Mẫu số chung của \( 400 \), \( 25 \) và \( 16 \) là \( 400 \):

- \( \frac{k^2}{400} \) vẫn là \( \frac{k^2}{400} \)
- \( \frac{k^2}{25} = \frac{16k^2}{400} \)
- \( \frac{3k^2}{16} = \frac{75k^2}{400} \)

Thay thế vào phương trình:

\[
\frac{k^2}{400} - \frac{16k^2}{400} + \frac{75k^2}{400} = 60
\]

Kết hợp các phần lại:

\[
\frac{k^2 - 16k^2 + 75k^2}{400} = 60
\]
\[
\frac{60k^2}{400} = 60
\]
\[
\frac{k^2}{400} = 1
\]

Từ đó ta có:

\[
k^2 = 400 \implies k = 20 \text{ hoặc } k = -20
\]

Lấy \( k = 20 \) (vì chúng ta đang tìm giá trị dương cho \( x \), \( y \), \( z \)):

- \( x = \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \)
- \( y = \frac{20}{5} = 4 \)
- \( z = \frac{20}{4} = 5 \)

Do đó, nghiệm của bài toán là:

\[
x = \frac{1}{3}, \quad y = 4, \quad z = 5
\]