Để giải bất phương trình:

\[
\frac{2x+1}{3} - \frac{x-4}{4} \leq \frac{3x+1}{6} - \frac{x-4}{12}
\]

**Bước 1: Tìm mẫu số chung.**

Mẫu số chung của các phân số là \(12\). Chúng ta sẽ biến đổi từng phân số về mẫu số 12.

\[
\frac{2x+1}{3} = \frac{4(2x+1)}{12} = \frac{8x + 4}{12}
\]
\[
\frac{x-4}{4} = \frac{3(x-4)}{12} = \frac{3x - 12}{12}
\]
\[
\frac{3x+1}{6} = \frac{2(3x+1)}{12} = \frac{6x + 2}{12}
\]
\[
\frac{x-4}{12} = \frac{x - 4}{12}
\]

**Bước 2: Thay vào bất phương trình.**

Bây giờ thay vào bất phương trình:

\[
\frac{8x + 4}{12} - \frac{3x - 12}{12} \leq \frac{6x + 2}{12} - \frac{x - 4}{12}
\]

**Bước 3: Kết hợp các phân số.**

\[
\frac{8x + 4 - (3x - 12)}{12} \leq \frac{6x + 2 - (x - 4)}{12}
\]

Rút gọn các biểu thức:

\[
\frac{8x + 4 - 3x + 12}{12} \leq \frac{6x + 2 - x + 4}{12}
\]

\[
\frac{5x + 16}{12} \leq \frac{5x + 6}{12}
\]

**Bước 4: Nhân hai vế với 12 (vì 12 > 0 nên không thay đổi dấu).**

\[
5x + 16 \leq 5x + 6
\]

**Bước 5: Giải bất phương trình.**

Trừ \(5x\) từ cả hai bên:

\[
16 \leq 6
\]

Điều này là sai, nghĩa là không có giá trị nào của \(x\) thỏa mãn bất phương trình này.

**Kết luận:**

Bất phương trình không có nghiệm.